筑波大学 2010年数学第6問解答・解説

平面上の曲線と複素数平面図形と方程式

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1問題

筑波大学2010年度第6問

直線 $\ell: mx + ny = 1$ が, 楕円 $\displaystyle C: \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ に接しながら動くとする。

(1) 点 $(m, n)$ の軌跡は楕円になることを示せ。

(2) C の焦点 $F_{1}(-\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0)$ と $\ell$ との距離を $d_{1}$ とし，もう 1 つの焦点 $F_{2}(\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0)$ と $\ell$ との距離を $d_{2}$ とする。このとき $d_{1}d_{2}=b^{2}$ を示せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $\displaystyle \quad a^2m^2+b^2n^2=1\quad\left(\frac{m^2}{(1/a)^2}+\frac{n^2}{(1/b)^2}=1\right).$
(2) $\quad d_1d_2=b^2.$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(1) 楕円上の点 $P(x_0,y_0)$ における接線は $\displaystyle \frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$ である。 $y_0\ne0$ なら楕円の式を微分して得られ、 $y_0=0$ では接線 $x=\pm a$ となり同じ式に含まれる。 $mx+ny=1$ との係数比較で $m=x_0/a^2,n=y_0/b^2$ だから、 $a^2m^2+b^2n^2=1.$ 逆にこの式を満たす $(m,n)$ に対して、 $P=(a^2m,b^2n)$ は楕円上にあり、その接線が $mx+ny=1$ である。よって軌跡は半軸 $1/a,1/b$ の楕円である。

(2) $c=\sqrt{a^2-b^2}$ とおく。点と直線の距離の公式から $\displaystyle d_1=\frac{|1+cm|}{\sqrt{m^2+n^2}},\qquad d_2=\frac{|1-cm|}{\sqrt{m^2+n^2}}.$ (1)より $m,n$ は同時に0ではなく、 $1-c^2m^2=1-(a^2-b^2)m^2=b^2(m^2+n^2)>0.$ したがって $d_1d_2=|1-c^2m^2|/(m^2+n^2)=b^2$ となる。

この問題で使う考え方

楕円の接線
点と直線の距離
必要十分性

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