5筑波大学 2010年 数学 第5問解答・解説

(1) 点 $P(x,y)$ がそれ自身に移るなら $$(a+1)x+ay=x,\qquad 3x+(a+2)y=y,$$ すなわち $$a(x+y)=0,\qquad 3x+(a+1)y=0.$$ 原点以外の解を考える。$a=0$ のとき第2式は $3x+y=0$ となり、例えば $(x,y)=(1,-3)$ が解である。$a\ne0$ のとき第1式から $y=-x$。これを第2式に代入すると $(2-a)x=0$ である。原点以外なら $x\ne0$ なので $a=2$。逆に $a=2$ なら $y=-x$ の点は固定される。よって $a=0,2$。

(2) 直線上の点を $(x,kx+1)$ と置く。移った点の座標は $$X=(a+1+ak)x+a,\qquad Y=(3+k(a+2))x+a+2.$$ 全ての $x$ について移った点も直線上にあるためには $Y=kX+1$ が恒等的に成り立つ。定数項と $x$ の係数を比べると $$a+2=ka+1,\qquad 3+k(a+2)=k(a+1+ak).$$ 前者は $a(k-1)=1$。これを後者に使うと $3+k=ak^2$ なので $$\displaystyle 3+k=\frac{k^2}{k-1},\qquad (3+k)(k-1)=k^2,$$ よって $2k-3=0$、すなわち $\displaystyle k=\frac32$、$a=2$。これらを元の2式に代入すれば両方成立する。

(3) $a=2$ のとき固定点の条件は第1式から $x+y=0$（第2式も同じ条件）。また直線は $\displaystyle y=\frac32x+1$ だから $$\displaystyle -x=\frac32x+1\quad\text{より}\quad x=-\frac25,\quad y=\frac25.$$ したがって求める点は $\displaystyle \boxed{(-\frac25,\frac25)}$。元の写像で確認すると $\displaystyle X=3(-\frac25)+2(\frac25)=-\frac25$、$\displaystyle Y=3(-\frac25)+4(\frac25)=\frac25$ で、確かに固定される。