1金沢大学 2009年 数学 第1問解答・解説

(1) $n=1$ を代入して $$x_1=4y_1-\alpha,\qquad y_1=9x_1-\beta.$$ これを連立して解くと $$\displaystyle \boxed{x_1=\frac{\alpha+4\beta}{35}},\qquad \boxed{y_1=\frac{9\alpha+\beta}{35}}.$$

(2) $n$ と $n+1$ の関係式を引くと $$x_{n+1}=4(y_{n+1}-y_n),\qquad y_{n+1}=9(x_{n+1}-x_n).$$ 第2式を第1式へ代入し、さらに第2式へ戻すと $$35x_{n+1}=36x_n+4y_n,\qquad 35y_{n+1}=9x_n+36y_n.$$ 従って求める行列は $$\displaystyle \boxed{A=\frac1{35}\begin{pmatrix}36&4\\9&36\end{pmatrix}}.$$

(3) $(\alpha,\beta)=(14,-21)$ を(1)へ代入すると $$(x_1,y_1)=(-2,3).$$ このとき $$\displaystyle \binom{x_2}{y_2}=A\binom{-2}{3} =\boxed{\binom{-12/7}{18/7}}.$$ さらに、(2)の行列を初項ベクトルに直接掛けると $$\displaystyle A\binom{-2}{3} =\frac1{35}\binom{-72+12}{-18+108} =\frac67\binom{-2}{3}.$$ 従って $n=1$ では $\displaystyle \binom{x_1}{y_1}=\binom{-2}{3}$。ある $n\ge1$ で $\displaystyle \binom{x_n}{y_n}=(6/7)^{n-1}\binom{-2}{3}$ と仮定すると、漸化式より $$\displaystyle \binom{x_{n+1}}{y_{n+1}} =A\binom{x_n}{y_n} =\left(\frac67\right)^{n-1}A\binom{-2}{3} =\left(\frac67\right)^n\binom{-2}{3}.$$ 数学的帰納法によりすべての自然数 $n$ で成り立つから $$\displaystyle \boxed{x_n=-2\left(\frac67\right)^{n-1}},\qquad \boxed{y_n=3\left(\frac67\right)^{n-1}}.$$