琉球大学 2008年数学第1問解答・解説

数学的な表現の工夫数列

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1問題

琉球大学2008年度第1問

行列 $A=\begin{pmatrix}a&2a\\a-3&a-4\end{pmatrix}$ は， $A^{2}=O$ を満たす。ただし， $O$ は零行列である。（50点）

問1 $a$ の値を求めよ。

問2 $B=2E+A$ とおく。ただし， $E$ は単位行列である。自然数 $n$ に対して， $B^{n}$ を求めよ。

（解答は次のページの解答欄に記入すること）

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

問1 $a=2$ 。問2 $B^n=2^nE+n2^{n-1}A=\begin{pmatrix}(n+1)2^n&n2^{n+1}\\-n2^{n-1}&(1-n)2^n\end{pmatrix}$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

問1 成分ごとに計算すると $A^2=\begin{pmatrix}3a^2-6a&4a^2-8a\\2(a-3)(a-2)&3a^2-14a+16\end{pmatrix}.$ 零行列条件の左上成分から $a=0$ または $a=2$ 。 $a=0$ では右下成分が16で不適。 $a=2$ では4成分すべて0となるので $a=2$ 。このとき $A=\begin{pmatrix}2&4\\-1&-2\end{pmatrix},\qquad A^2=O.$

問2 $B=2E+A$ とする。数学的帰納法で $B^n=2^nE+n2^{n-1}A$ を示す。 $n=1$ で成立する。成立を仮定すると $B^{n+1}=(2^nE+n2^{n-1}A)(2E+A) =2^{n+1}E+(n+1)2^nA+n2^{n-1}A^2 =2^{n+1}E+(n+1)2^nA.$ ここへ $A$ を代入すれば $B^n=\begin{pmatrix}(n+1)2^n&n2^{n+1}\\-n2^{n-1}&(1-n)2^n\end{pmatrix}\quad(n=1,2,\ldots).$

この問題で使う考え方

行列の成分計算
冪零行列
数学的帰納法

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