4三重大学 2009年 数学 第4問解答・解説

(1) 各成分を行と列の積で計算するため、 $$u=\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix},\quad v=\begin{pmatrix}1\\-4\\6\end{pmatrix},\quad p=\begin{pmatrix}2\\2\\1\end{pmatrix},\quad q=\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$$ とおくと、与えられた行列は $A=up^{\mathsf T}$、$B=vq^{\mathsf T}$ と成分ごとに書ける。列ベクトル $r,s$ と行ベクトル $w^{\mathsf T},z^{\mathsf T}$ に対し、積 $(rw^{\mathsf T})(sz^{\mathsf T})$ の $(i,j)$ 成分は $$\displaystyle \sum\limits _{m=1}^3 r_iw_ms_mz_j=r_i(w^{\mathsf T}s)z_j$$ である。ここで $$p^{\mathsf T}u=2-4+3=1,\quad q^{\mathsf T}v=-1-4+6=1, \quad p^{\mathsf T}v=2-8+6=0,\quad q^{\mathsf T}u=-1-2+3=0.$$ したがって、成分計算の結果は $$\boxed{A^2=A,\qquad B^2=B,\qquad AB=BA=O}$$ である。

(2) $X=aA+bB$ の第 $(1,3)$ 成分は $a+b$、第 $(1,1)$ 成分は $2a-b$ だから、 $$\displaystyle a+b=0,\qquad 2a-b=-\frac32.$$ これを解くと $a=-1/2,\ b=1/2$ であり、実際 $$\displaystyle -\frac12A+\frac12B =\begin{pmatrix} -\frac32&-\frac12&0\\ 4&0&-1\\ -6&0&\frac32 \end{pmatrix}=X.$$

(3) (1)、(2) の結果から $$\displaystyle X^n=\left(-\frac12\right)^nA+\left(\frac12\right)^nB\qquad(n=1)$$ が成り立つ。これが $n$ で成り立つとすると、積を分配して $$\displaystyle \begin{aligned} X^{n+1} &=\left\{\left(-\frac12\right)^nA+\left(\frac12\right)^nB\right\} \left(-\frac12A+\frac12B\right)\\ &=\left(-\frac12\right)^{n+1}A^2 +\frac12\left(-\frac12\right)^nAB -\frac12\left(\frac12\right)^nBA +\left(\frac12\right)^{n+1}B^2\\ &=\left(-\frac12\right)^{n+1}A+\left(\frac12\right)^{n+1}B. \end{aligned}$$ よって数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について $$\displaystyle \boxed{X^n=\frac{(-1)^nA+B}{2^n}}$$ である。

(4) (3) の式の各成分は、公比 $-1/2$ または $1/2$ の等比級数となる。両方の公比の絶対値は1より小さいから成分ごとに収束し、 $$\displaystyle \begin{aligned} X+X^2+X^3+\cdots &=\left\{\sum\limits _{n=1}^{\infty}\left(-\frac12\right)^n\right\}A +\left\{\sum\limits _{n=1}^{\infty}\left(\frac12\right)^n\right\}B\\ &=-\frac13A+B\\ &=\boxed{\begin{pmatrix} -\frac53&\frac13&\frac23\\ \frac{16}{3}&-\frac83&-\frac{10}{3}\\ -8&4&5 \end{pmatrix}}. \end{aligned}$$