1三重大学 2009年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \text{(1) 解集合が有界な区間なので }a\ne0.\text{ 両端を根とし、区間内で非負となるには }a<0\text{ だから、} a(x-\tfrac12)(x-\tfrac{\sqrt3}{2})\ (a<0)\text{ と書ける。} b=-a\tfrac{1+\sqrt3}{2}>0,\quad |b|=1\text{ より }b=1,\quad a=-\tfrac2{1+\sqrt3}=1-\sqrt3. c=a\tfrac{\sqrt3}{4}=\tfrac{\sqrt3-3}{4}. \\ \text{(2) }0\le\theta<\tfrac\pi2\text{ で }\cos\theta>0.\ x=\tan\theta\text{ とおくと }x\ge0,\text{ また元の左辺の符号は} H(x)=\alpha x^2+\beta+x\sqrt{1+x^2}\text{ の符号に等しい。} \text{解集合の端点で連続性より }H(\tfrac1{\sqrt3})=H(\sqrt3)=0\text{ なので、} \tfrac\alpha3+\beta+\tfrac23=0,\quad 3\alpha+\beta+2\sqrt3=0. \text{よって }\alpha=\tfrac{1-3\sqrt3}{4},\quad\beta=\tfrac{\sqrt3-3}{4}. \\ t=x^2,\quad m=\tfrac{3\sqrt3-1}{4},\quad n=\tfrac{3-\sqrt3}{4}\text{ とすると }H=\sqrt{t(t+1)}-(mt+n). m>1,\ n>0\text{ より }mt+n>0.\text{ したがって }H\text{ の符号は} t(t+1)-(mt+n)^2=(1-m^2)(t-\tfrac13)(t-3) \text{ の符号と一致する。ここで }1-m^2<0\text{ だから、これは }\tfrac13\le t\le3\text{ のとき、かつそのときに限り非負。} \text{従って }\tfrac1{\sqrt3}\le x\le\sqrt3\text{、すなわち }\tfrac\pi6\le\theta\le\tfrac\pi3\text{ であり、指定された解集合と一致する。}$$