1大阪大学 2013年 数学 第1問解答・解説

以下、角度はラジアンで測る。まず、三角関数の極限公式を示す。単位円の中心を$O$、正の$x$軸との交点を$A$、中心角が$\theta$となる円周上の点を$B$とし、$0<\theta<\pi/2$とする。点$A$における接線と半直線$OB$との交点を$T$とすると、三角形$OAB$は扇形$OAB$に含まれ、扇形$OAB$は三角形$OAT$に含まれる。各面積はそれぞれ$\displaystyle \frac12\sin\theta$、$\displaystyle \frac12\theta$、$\displaystyle \frac12\tan\theta$だから、 $$\displaystyle \frac12\sin\theta<\frac12\theta<\frac12\tan\theta.$$ よって$\cos\theta>0$を用いると、 $$\displaystyle \cos\theta<\frac{\sin\theta}{\theta}<1.$$ また、同じ面積比較を$\theta/2$に適用して$0<\sin(\theta/2)<\theta/2$を得るので、$\sin(\theta/2)\to0$。二倍角の公式$\cos\theta=1-2\sin^2(\theta/2)$から$\cos\theta\to1$となる。したがって、はさみうちにより$\displaystyle \lim\limits _{\theta\to0+}\sin\theta/\theta=1$。さらに$\sin(-\theta)/(-\theta)=\sin\theta/\theta$だから、 $$\displaystyle \lim\limits _{h\to0}\frac{\sin h}{h}=1.$$

次に、任意の実数$x$を固定する。微分係数の定義と加法定理から、$h\ne0$に対して $$\displaystyle \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\sin x\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\frac{\sin h}{h}.$$ 二倍角の公式より $$\displaystyle \frac{\cos h-1}{h}=-\frac{h}{2}\left(\frac{\sin(h/2)}{h/2}\right)^2\longrightarrow0\quad(h\to0).$$ ゆえに、先に示した極限を用いると $$\displaystyle \lim\limits _{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\sin x\cdot0+\cos x\cdot1=\cos x.$$ したがって、$\sin x$は任意の実数$x$で微分可能であり、その導関数は$\cos x$である。