4大阪大学 2013年 数学 第4問解答・解説

三角形 $OAB$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる円すい $V$ は $$0\le x\le 1,\qquad y^2+z^2\le x^2$$ で表される。

$y$ の値を固定し、$y$ 軸からの距離を $r=\sqrt{x^2+z^2}$ とする。この断面では $x^2\ge y^2+z^2$ だから $$r^2=x^2+z^2\ge x^2\ge y^2,\qquad r^2=x^2+z^2\le 2x^2-y^2\le 2-y^2.$$ よって $|y|\le r\le\sqrt{2-y^2}$ である（$|y|\le1$）。この範囲の任意の $r$ について $$x=\sqrt{(r^2+y^2)/2},\qquad z=\sqrt{(r^2-y^2)/2}$$ とおけば、$x\le1$ かつ $y^2+z^2=x^2$ となるので、実際に断面に含まれる。したがって回転後の $y$ における断面は、内半径 $|y|$、外半径 $\sqrt{2-y^2}$ の円環である。

その面積は $\pi\{(2-y^2)-y^2\}=2\pi(1-y^2)$ だから、求める体積は $$\displaystyle \int_{-1}^{1}2\pi(1-y^2)\,dy=2\pi\left[y-\frac{y^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{8\pi}{3}.$$