3東京慈恵会医科大学 2011年 数学 第3問解答・解説

(1)(i) 仮定より、直線 $JK$ と直線 $ML$ は平行である。これらが同一直線なら4点が同一直線上にあることになり仮定に反するから、2直線は異なる平行線である。異なる平行線は同一平面上にあるので、$J,K,L,M$ は同一平面上にある。

(1)(ii) 点を $$Q=(q,4n,0),\quad R=(0,r,4n),\quad S=(s,0,4n)$$ とおく。ひし形は平行四辺形だから $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{SR}$ であり、座標を比較すると $$s=4n-q,\qquad r=4n-p.$$ さらに隣り合う辺の長さが等しいので $$(4n-q)^2+(4n-p)^2 =q^2+p^2+(4n)^2,$$ 従って $q=2n-p$。点 $Q$ が辺 $BC$ 上にあることから $0\le p\le2n$。よって $$\boxed{Q=(2n-p,4n,0),\quad R=(0,4n-p,4n),\quad S=(2n+p,0,4n)}.$$ これらは平行四辺形をなし、隣り合う辺の長さも等しいため、確かにひし形である。

(2) 対角線は直交し、その長さは $$|PR|=2\sqrt{p^2-4np+12n^2},\qquad |QS|=2\sqrt{p^2+8n^2}.$$ 従って面積 $A(p)$ は $$\displaystyle A(p)=\frac{|PR||QS|}{2} =2\sqrt{F(p)},\qquad F(p)=(p^2-4np+12n^2)(p^2+8n^2).$$ 微分すると $$F'(p)=4(p-n)\bigl((p-n)^2+7n^2\bigr).$$ 従って $0\le p\le2n$ で $F$ は $p=n$ まで減少し、その後増加する。面積の最小は $p=n$ のときで、点の座標は $$\boxed{P=(4n,n,0),\quad Q=(n,4n,0),\quad R=(0,3n,4n),\quad S=(3n,0,4n)}$$ である。このとき対角線の長さはともに $6n$、面積は $18n^2$。

(3) このとき底面の平面は $$2x+2y+z=10n.$$ 原点からこの平面への垂線の足と高さは $$\displaystyle H=\left(\frac{20n}{9},\frac{20n}{9},\frac{10n}{9}\right), \qquad OH=\frac{10n}{3}.$$ 底面の中心を $M=(2n,2n,2n)$ とし、 $$\displaystyle \boldsymbol e_1=\frac{P-M}{3n},\qquad \boldsymbol e_2=\frac{Q-M}{3n}$$ とおくと、$\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2$ は直交する単位ベクトルで、底面の頂点は $M\pm3n\boldsymbol e_1$, $M\pm3n\boldsymbol e_2$ である。また $$\displaystyle H-M=\frac{2n}{3}\boldsymbol e_1+\frac{2n}{3}\boldsymbol e_2.$$ したがって $H$ は正方形の内部にある（対角線方向の座標の絶対値の和は $4n/3<3n$）。頂点までの距離は $$\displaystyle HP=HQ=\frac{\sqrt{53}}3n,\qquad HR=HS=\frac{5\sqrt5}{3}n.$$ 四角形内で距離は連続に $0$ から最大値までをとり、最大値は頂点 $R,S$ での $5\sqrt5 n/3$ である。ゆえに底面を $OH$ のまわりに回転したときの断面は、その半径の円盤になる。頂点 $O$ から底面までの相似な各断面でも軸は内部を通り、半径は高さに比例するので、回転してできる立体は高さ $10n/3$、底面半径 $5\sqrt5 n/3$ の円錐である。よって $$\displaystyle \boxed{V(n)=\frac13\pi\left(\frac{5\sqrt5}{3}n\right)^2\frac{10n}{3} =\frac{1250\pi}{81}n^3}.$$

(4) $$\displaystyle a_k=\frac{100k^2}{9}\sum\limits _{j=1}^k\frac{81}{1250\pi(k+j)^3} =\frac{18}{25\pi}\frac1k\sum\limits _{j=1}^k\left(1+\frac jk\right)^{-3}.$$ これは連続関数 $g(x)=(1+x)^{-3}$ の$0\le x\le1$ の範囲を等分した区分求積の和だから $$\displaystyle \lim\limits _{k\to\infty}a_k =\frac{18}{25\pi}\int_0^1\frac{dx}{(1+x)^3} =\frac{18}{25\pi}\cdot\frac38 =\boxed{\frac{27}{100\pi}}.$$