1東京慈恵会医科大学 2011年 数学 第1問解答・解説

第1問　訂正解答

(A)(1)　$PQ$ の長さ 斜辺 $BC=1$ の直角二等辺三角形だから $AB=AC=s=1/\sqrt2$ である。座標を $A=(0,0),\ B=(s,0),\ C=(0,s)$ と置くと、辺 $BC$ は $x+y=s$ 上にある。$\angle A=90^\circ$ を三等分するので $AP$ は $AB$ から $30^\circ$、$AQ$ は $60^\circ$ の方向である。 従って $P$ では $x/y=\sqrt3$、$Q$ では $y/x=\sqrt3$。 $x+y=s$ と合わせると $$\displaystyle P=\left(\frac{s\sqrt3}{\sqrt3+1},\frac{s}{\sqrt3+1}\right), \qquad Q=\left(\frac{s}{\sqrt3+1},\frac{s\sqrt3}{\sqrt3+1}\right).$$ $P,Q$ は傾き $-1$ の同一直線上にあるので、$x$ 座標差の $\sqrt2$ 倍が距離である。よって $$\displaystyle \boxed{PQ=\sqrt2s\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1} =\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}=2-\sqrt3}.$$

(A)(2)　さいころの最大・最小 $n=3$ で $X=3,Y=2$ となるには、3個の目は $2,3$ のみで、 両方が少なくとも1回出なければならない。$2^3$ 通りから すべて2、すべて3の2通りを除いた6通りである。全事象は $6^3$ 通りなので $$\displaystyle \boxed{\text{イ}=\Pr(X=3,Y=2)=\frac{2^3-2}{6^3}=\frac1{36}}.$$ 一般の $n\ge2$ では、$X-Y=1$ のとき最小値 $Y$ は $j=1,2,3,4,5$ のどれか一つである。$Y=j$ を固定すると すべての目は $j,j+1$ の2種類に限られ、両方とも現れるから $2^n-2$ 通りである。異なる $j$ の場合は重ならない。従って $$\displaystyle \boxed{\text{ウ}=\Pr(X-Y=1)=\frac{5(2^n-2)}{6^n}}.$$

(A)(3)　方程式の根と10乗和 与えられた根を $z=(\sqrt2+\sqrt6\,i)/2$ とする。係数 $a,b$ は実数 なので共役 $\bar z=(\sqrt2-\sqrt6\,i)/2$ も根である。 $z+\bar z=\sqrt2$、$z\bar z=2$ より、これらの二根に 対応する二次因子は $x^2-\sqrt2x+2$ である。残りの根を $r$ と置くと $$(x-r)(x^2-\sqrt2x+2) =x^3-(r+\sqrt2)x^2+(2+\sqrt2r)x-2r.$$ 問題の $x$ の係数との比較から $2+\sqrt2r=2+\sqrt2$、 従って $r=1$。よって $$\boxed{\text{エ}=a=-1-\sqrt2,\qquad \text{オ}=b=-2}.$$ 問題がいう「他の2つの解」は、既知の $z$ を除く $\bar z$ と $1$ である。 従って $\{\alpha,\beta\}=\{\bar z,1\}$。 $\bar z$ は $\bar z^2-\sqrt2\bar z+2=0$ を満たすから $$\bar z^3=\sqrt2\bar z^2-2\bar z =\sqrt2(\sqrt2\bar z-2)-2\bar z=-2\sqrt2.$$ そこで $$\displaystyle \bar z^{10}=(\bar z^3)^3\bar z =(-2\sqrt2)^3\frac{\sqrt2-\sqrt6\,i}{2} =-16+16\sqrt3\,i.$$ 従って $$\boxed{\text{カ}=\alpha^{10}+\beta^{10} =\bar z^{10}+1=-15+16\sqrt3\,i}.$$

(B)　命題①と命題② 命題①。 任意の奇数 $m$ は整数 $k$ を用いて $m=2k+1$ と 書ける。このとき $$m=(k+1)^2-k^2.$$ $k+1,k$ は整数だから、正負を問わずすべての奇数 $m$ は $A$ の要素である。

命題②。 $m$ を偶数とする。まず $4\mid m$ と仮定し $m=4k\ (k\text{ は整数})$ と置けば $$(k+1)^2-(k-1)^2=4k=m.$$ 従って $m\in A$ である。逆に $m\in A$ と仮定し、 $m=a^2-b^2\ (a,b\text{ は整数})$ とする。整数の平方は元の整数と 偶奇が同じなので、偶数 $m=a^2-b^2$ では $a,b$ は同じ偶奇である。 このとき $a-b$ と $a+b$ はともに偶数だから $$m=(a-b)(a+b)$$ は4の倍数である。以上より、偶数 $m$ が $A$ の要素であるための必要十分条件は、$m$ が4の倍数であることである。$k,a,b$ に符号や非零の制限を置いていないので、 負の数と $m=0$ も含む。

検算

・ $0<2-\sqrt3<1=BC$ で、$P,Q$ 間の距離として可能である。

・ $n=2,3,4$ では $X-Y=1$ の出方は順に $10,30,70$ 通りで、$5(2^n-2)$ と一致する。

・ $(x-1)(x^2-\sqrt2x+2) =x^3-(1+\sqrt2)x^2+(2+\sqrt2)x-2$ で、与式に一致する。 また $\bar z^{10}+1$ は $-15+16\sqrt3\,i$ である。

・ 命題②の構成は $m=0$ の場合 $1^2-(-1)^2=0$ も与える。