1日本大学 2018年 数学 第1問解答・解説

(1) 放物線を平方完成すると $y=a(x+3)^2+b-9a$ となる。頂点の $x=-3$ は定義域内にあるので最小値は $b-9a$ である。また上に開く放物線の最大値は端点でとる。端点での値は $y(-5)=b-5a$, $y(2)=b+16a$ であり, $a>0$ だから $b+16a>b-5a$。したがって $\displaystyle b-9a=-\frac{25}{8}$, $\displaystyle b+16a=\frac{25}{2}$。差をとると $\displaystyle 25a=\frac{125}{8}$, よって $\displaystyle a=\frac58$, $\displaystyle b=\frac52$。

(2) 係数は実数なので, $1+\sqrt2 i$ が解なら共役な $1-\sqrt2 i$ も解である。よって $x^2-2x+3$ が左辺を割る。商を $ax+c$ とおいて係数を比較すると $(x^2-2x+3)(ax+c)=ax^3+(c-2a)x^2+(3a-2c)x+3c$ だから $3c=-8a$, $3a-2c=25$。前者から $\displaystyle c=-\frac83a$ であり, 後者に代入して $\displaystyle \frac{25}{3}a=25$, したがって $a=3,\ c=-8$。さらに $b=c-2a=-14$。

(3) 立方体の頂点を $A=(0,0,0), B=(4,0,0), C=(4,4,0), F=(4,0,4)$ とおく。内分比から $P=(1,0,0), R=(4,3,0)$, また $Q=(4,0,2)$。よって $\overrightarrow{PQ}=(3,0,2)$, $\overrightarrow{PR}=(3,3,0)$ なので $PQ=\sqrt{13},\ RP=3\sqrt2$。さらに $\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}=9$ であるから, $PQ$ の $PR$ への射影の長さは $\displaystyle \frac{9}{3\sqrt2}$, 高さの二乗は $\displaystyle 13-\left(\frac{9}{3\sqrt2}\right)^2=\frac{17}{2}$。したがって面積は $\displaystyle \frac12\cdot3\sqrt2\cdot\sqrt{\frac{17}{2}}=\frac{3\sqrt{17}}2$。

(4) $10y+z$ が4の倍数となる組は $(y,z)=(1,2),(1,6),(2,4),(3,2),(3,6),(4,4),(5,2),(5,6),(6,4)$ の9組である。百の位 $x$ は6通りなので, 全216通りのうち54通りが4の倍数となり, 確率は $\displaystyle \frac{54}{216}=\frac14$。この9組のうち, 各組に対し $x+y+z$ が9の倍数となる $x=1,\ldots,6$ のいずれかがあるものは $(x,y,z)=(6,1,2),(2,1,6),(3,2,4),(4,3,2),(1,4,4),(2,5,2)$ の6通りである。したがって両方の倍数となる確率は $\displaystyle \frac6{216}=\frac1{36}$。