4九州大学 2003年 数学 第4問解答・解説

〔4〕A（四面体と重心） 　 　 　 (1) $\angle AOB=\allowbreak{}\angle BOC=\allowbreak{}\angle COA=\allowbreak{}90^\circ$ であるから，$O$ を原点とし，$OA,\allowbreak{}OB,\allowbreak{}OC$ の方向を互いに直交する座標軸にとって $$A=(a,0,0),\quad B=(0,b,0),\quad C=(0,0,c)\qquad(a,b,c>0)$$ とおける。三角形 $ABC$ の重心は $\displaystyle G=\allowbreak{}\left(\dfrac a3,\allowbreak{}\dfrac b3,\allowbreak{}\dfrac c3\right)$ である。 　 $$\displaystyle \overrightarrow{GO}=\left(-\frac a3,-\frac b3,-\frac c3\right),\quad \overrightarrow{GA}=\left(\frac{2a}3,-\frac b3,-\frac c3\right)$$ $$\displaystyle \overrightarrow{GB}=\left(-\frac a3,\frac{2b}3,-\frac c3\right),\quad \overrightarrow{GC}=\left(-\frac a3,-\frac b3,\frac{2c}3\right)$$ であるから，$\angle OGA=\allowbreak{}90^\circ\quad\text{すなわち}\quad\overrightarrow{GO}\cdot\overrightarrow{GA}=\allowbreak{}0$ より $$\displaystyle -\frac{2a^2}9+\frac{b^2}9+\frac{c^2}9=0\ \quad\text{すなわち}\quad\ b^2+c^2=2a^2\quad\cdots(\text{i})$$ 同様に $$\angle OGB=90^\circ\quad\text{すなわち}\quad a^2+c^2=2b^2\quad\cdots(\text{ii}),\qquad \angle OGC=90^\circ\quad\text{すなわち}\quad a^2+b^2=2c^2\quad\cdots(\text{iii})$$ (i)$-$(ii) より $b^2-a^2=\allowbreak{}2a^2-2b^2$，すなわち $3b^2=\allowbreak{}3a^2$ で $a,\allowbreak{}b>0$ から $a=\allowbreak{}b$。これを(i)に代入すると $b^2+c^2=\allowbreak{}2b^2$ より $c=\allowbreak{}b$。よって(i)(ii)(iii)がすべて成り立つならば $a=\allowbreak{}b=\allowbreak{}c$ が必要である。 　 逆に $a=\allowbreak{}b=\allowbreak{}c$ ならば(i)(ii)(iii)はいずれも $2a^2=\allowbreak{}2a^2$ となり成立するから，条件は十分でもある。 　 （検算：$a=\allowbreak{}b=\allowbreak{}c=\allowbreak{}k$ のとき $\displaystyle G=\allowbreak{}\left(\frac k3,\allowbreak{}\frac k3,\allowbreak{}\frac k3\right)$，$\displaystyle \overrightarrow{GO}\cdot\overrightarrow{GA}=\allowbreak{}-\frac{2k^2}9+\frac{k^2}9+\frac{k^2}9=\allowbreak{}0$ となり，対称性から他の2つも同様に0である。） 　 よって，求める条件は $$\boxed{a=b=c}$$ である。 　 　 　 (2) $\overrightarrow{OA}=\allowbreak{}\vec\alpha,\allowbreak{}\ \overrightarrow{OB}=\allowbreak{}\vec\beta,\allowbreak{}\ \overrightarrow{OC}=\allowbreak{}\vec\gamma$（互いに直交し $|\vec\alpha|=\allowbreak{}a,\allowbreak{}|\vec\beta|=\allowbreak{}b,\allowbreak{}|\vec\gamma|=\allowbreak{}c$）とおく。$D$ は $BC$ を $1:2$ に内分するから $$\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac23\vec\beta+\frac13\vec\gamma$$ 点 $P$ は直線 $AD$ 上の $A$ 以外の点だから，実数 $t\neq0$ を用いて $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\vec\alpha+t(\overrightarrow{OD}-\vec\alpha)=(1-t)\vec\alpha+\frac{2t}3\vec\beta+\frac t3\vec\gamma$$ と表せる（$t=\allowbreak{}0$ が $P=\allowbreak{}A$ に対応するので除く）。三角形 $APQ$ の重心が $G$ であることから $$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=3\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP}=(\vec\alpha+\vec\beta+\vec\gamma)-\vec\alpha-\overrightarrow{OP}=(t-1)\vec\alpha+\left(1-\frac{2t}3\right)\vec\beta+\left(1-\frac t3\right)\vec\gamma$$ $\vec\alpha,\allowbreak{}\vec\beta,\allowbreak{}\vec\gamma$ は互いに直交するから $$\displaystyle |OQ|^2=(t-1)^2a^2+\left(1-\frac{2t}3\right)^2b^2+\left(1-\frac t3\right)^2c^2=:f(t)$$ は $t$ の2次関数で，$t^2$ の係数 $\displaystyle a^2+\dfrac{4b^2}9+\dfrac{c^2}9=\allowbreak{}\dfrac{9a^2+4b^2+c^2}9>0$ より下に凸である。$f'(t)=\allowbreak{}0$ を解くと，頂点は $$\displaystyle t^\ast=\frac{3(3a^2+2b^2+c^2)}{9a^2+4b^2+c^2}$$ であり，$a,\allowbreak{}b,\allowbreak{}c>0$ より分子・分母がともに正なので $t^\ast>0$，特に $t^\ast\neq0$ であるから，この最小値は「$P\neq A$」の制約のもとでも実際に達成される。 　 頂点での最小値を平方完成（または $\displaystyle f(t^\ast)=\allowbreak{}C-\dfrac{B^2}{4A}$，$\displaystyle A=\allowbreak{}\dfrac{9a^2+4b^2+c^2}9,\allowbreak{}\ B=\allowbreak{}-\dfrac{2(9a^2+6b^2+3c^2)}9,\allowbreak{}\ C=\allowbreak{}a^2+b^2+c^2$）により計算すると $$\displaystyle f(t^\ast)=a^2+b^2+c^2-\frac{(3a^2+2b^2+c^2)^2}{9a^2+4b^2+c^2}=\frac{(a^2+b^2+c^2)(9a^2+4b^2+c^2)-(3a^2+2b^2+c^2)^2}{9a^2+4b^2+c^2}$$ 分子を展開すると $9a^4+13a^2b^2+10a^2c^2+4b^4+5b^2c^2+c^4-(9a^4+12a^2b^2+6a^2c^2+4b^4+4b^2c^2+c^4)=\allowbreak{}a^2b^2+4a^2c^2+b^2c^2$ となるから $$\displaystyle f(t^\ast)=\frac{a^2b^2+4a^2c^2+b^2c^2}{9a^2+4b^2+c^2}$$ （検算：$a=\allowbreak{}b=\allowbreak{}c=\allowbreak{}1$ とすると $\displaystyle t^\ast=\allowbreak{}\dfrac{3\cdot6}{14}=\allowbreak{}\dfrac97$ で，$\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\allowbreak{}\left(\dfrac27,\allowbreak{}\dfrac17,\allowbreak{}\dfrac47\right)$，$\displaystyle |OQ|^2=\allowbreak{}\dfrac{4+1+16}{49}=\allowbreak{}\dfrac37$。一方 $\displaystyle \dfrac{1+4+1}{9+4+1}=\allowbreak{}\dfrac6{14}=\allowbreak{}\dfrac37$ となり一致する。） 　 よって，線分 $OQ$ の長さの最小値は $$\displaystyle \boxed{\sqrt{\dfrac{a^2b^2+4a^2c^2+b^2c^2}{9a^2+4b^2+c^2}}}$$ である。 　 　 　 〔4〕B（複素数平面上の直線と放物線） 　 　 　 (1) $z=\allowbreak{}t+ai$（$t$ は実数全体）とすると $$z^2=t^2-a^2+2ati$$ $w=\allowbreak{}z^2=\allowbreak{}X+Yi$（$X,\allowbreak{}Y$は実数）とおくと $X=\allowbreak{}t^2-a^2,\allowbreak{}\ Y=\allowbreak{}2at$。$0<a<1$ より $a\neq0$ だから $\displaystyle t=\allowbreak{}\dfrac{Y}{2a}$ とでき，これを $X$ の式へ代入すると $$\displaystyle X=\frac{Y^2}{4a^2}-a^2\ \quad\text{すなわち}\quad\ Y^2=4a^2(X+a^2)$$ $t$ が実数全体を動くとき $Y=\allowbreak{}2at$ も実数全体を動く（各実数 $Y$ に対応する $t$ はただ一つ）ので，この等式を満たす点 $(X,\allowbreak{}Y)$ は過不足なくすべて実現される。すなわち軌跡は放物線 $$Y^2=4a^2(X+a^2)$$ の全体である。これは $Y^2=\allowbreak{}4a^2\{X-(-a^2)\}$ の形であるから，頂点 $(-a^2,\allowbreak{}0)$，軸は実軸（$X$軸），焦点までの距離 $p=\allowbreak{}a^2$ をもつ，$X$ の正方向に開く放物線であり，焦点は $(-a^2+a^2,\allowbreak{}\,\allowbreak{}0)=\allowbreak{}(0,\allowbreak{}0)$（原点），準線は $X=\allowbreak{}-a^2-a^2=\allowbreak{}-2a^2$ である。 　 （検算：$t=\allowbreak{}0$ のとき $z=\allowbreak{}ai,\allowbreak{}\ z^2=\allowbreak{}-a^2$，すなわち $(X,\allowbreak{}Y)=\allowbreak{}(-a^2,\allowbreak{}0)$ は頂点で，方程式に $Y=\allowbreak{}0$ を代入した $X=\allowbreak{}-a^2$ と一致する。$t=\allowbreak{}1$ のとき $z=\allowbreak{}1+ai,\allowbreak{}\ z^2=\allowbreak{}(1-a^2)+2ai$，すなわち $(X,\allowbreak{}Y)=\allowbreak{}(1-a^2,\allowbreak{}2a)$ を方程式に代入すると $Y^2=\allowbreak{}4a^2$，$4a^2(X+a^2)=\allowbreak{}4a^2(1-a^2+a^2)=\allowbreak{}4a^2$ で一致する。） 　 よって，軌跡は頂点 $(-a^2,\allowbreak{}0)$，焦点が原点 $(0,\allowbreak{}0)$，準線 $X=\allowbreak{}-2a^2$ で，実軸を軸として正方向（右）に開く放物線 $Y^2=\allowbreak{}4a^2(X+a^2)$である。 　 　 　 (2) 直線 $\ell:y=\allowbreak{}a$（点 $(t,\allowbreak{}a)$，$t\text{ は実数}$）を原点中心に角 $\theta$回転すると，点 $(t,\allowbreak{}a)$ は $(t\cos\theta-a\sin\theta,\allowbreak{}\ t\sin\theta+a\cos\theta)$ に移る。$\ell$ の方程式 $0\cdot x+1\cdot y=\allowbreak{}a$ の法線ベクトル $(0,\allowbreak{}1)$ を角 $\theta$ 回転すると $(-\sin\theta,\allowbreak{}\cos\theta)$ になるから，回転後の直線 $m$ の方程式は $$m:\ -x\sin\theta+y\cos\theta=a$$ である（$\cos\theta=\allowbreak{}0$ の場合も含め，$t$ を消去して直接導ける式と一致する）。 　 以下，$s=\allowbreak{}\sin\theta,\allowbreak{}\ c=\allowbreak{}\cos\theta$（$c^2=\allowbreak{}1-s^2$）とし，$m$ と(1)の放物線 $y^2=\allowbreak{}4a^2(x+a^2)$（表記の混同を避けるため実部・虚部を改めて $x,\allowbreak{}y$ とする）との共有点の個数を調べる。 　 (i) $c=\allowbreak{}0$（$s=\allowbreak{}\pm1$）のとき：$m$ は縦線 $\displaystyle x=\allowbreak{}-\dfrac as=\allowbreak{}-as$ である。放物線に代入すると $$y^2=4a^2(-as+a^2)=4a^3(a-s)$$ $0<a<1$ より，$s=\allowbreak{}1$ のとき $a-s=\allowbreak{}a-1<0$ で実数解なし（0個）。$s=\allowbreak{}-1$ のとき $a-s=\allowbreak{}a+1>0$ で $y=\allowbreak{}\pm2a\sqrt{a(a+1)}$（2個）。 　 (ii) $c\neq0,\allowbreak{}\ s=\allowbreak{}0$（$\theta=\allowbreak{}0,\allowbreak{}\pi$）のとき：$m:y=\allowbreak{}a\cos\theta=\allowbreak{}\pm a$ で，これは $\ell$ 自身またはその像であり，放物線に代入すると $$\displaystyle a^2=4a^2(x+a^2)\ \quad\text{ならば}\quad\ x=\frac14-a^2$$ の1つの $x$ だけが定まる（放物線の軸に平行な横線は放物線とちょうど1点で交わる）。よって1個。 　 (iii) $c\neq0,\allowbreak{}\ s\neq0$（$0<|s|<1,\allowbreak{}\ s\neq0$）のとき：$m$ から $\displaystyle y=\allowbreak{}\dfrac{a+xs}{c}$ とし，放物線に代入して $$(a+xs)^2=4a^2c^2(x+a^2)$$ $$\quad\text{ならば}\quad\ s^2x^2+(2as-4a^2c^2)x+(a^2-4a^4c^2)=0\quad(\ast)$$ $s\neq0$ だからこれは真の2次方程式で，判別式は $$D=(2as-4a^2c^2)^2-4s^2(a^2-4a^4c^2)$$ 展開して $c^2=\allowbreak{}1-s^2$ を用いると（$B^2=\allowbreak{}4a^2s^2+16a^4c^4-16a^3sc^2$，$4AC=\allowbreak{}4a^2s^2-16a^4s^2c^2$ より） $$D=16a^4c^4-16a^3sc^2+16a^4s^2c^2=16a^3c^2\{a(c^2+s^2)-s\}=16a^3c^2(a-s)$$ $a>0,\allowbreak{}\ c^2>0$ だから $D$ の符号は $a-s$ の符号と一致する： $$s<a\quad\text{ならば}\quad D>0(\text{異なる2実解}),\qquad s=a\quad\text{ならば}\quad D=0(\text{重解}),\qquad s>a\quad\text{ならば}\quad D<0(\text{実解なし})$$ $(\ast)$の各実数解 $x$ に対し $\displaystyle y=\allowbreak{}\dfrac{a+xs}{c}$ が一意に定まるので，共有点の個数は実数解の個数と一致する。 　 （検算：$\displaystyle a=\allowbreak{}\dfrac12,\allowbreak{}\ s=\allowbreak{}0.8>a$ のとき，$c^2=\allowbreak{}0.36$，$B=\allowbreak{}2\cdot0.5\cdot0.8-4\cdot0.25\cdot0.36=\allowbreak{}0.44$，$C=\allowbreak{}0.25-4\cdot0.0625\cdot0.36=\allowbreak{}0.16$，$D=\allowbreak{}0.44^2-4\cdot0.64\cdot0.16=\allowbreak{}0.1936-0.4096=\allowbreak{}-0.216<0$ となり，公式 $D=\allowbreak{}16a^3c^2(a-s)=\allowbreak{}16\cdot0.125\cdot0.36\cdot(-0.3)=\allowbreak{}-0.216$ と一致し，共有点なしという結論も一致する。） 　 (i)(ii)(iii)をまとめると，交点の個数は次のように場合分けされる： $$\begin{cases} 0\ \text{個} & (a<\sin\theta\le1)\\ 1\ \text{個（接する）} & (\sin\theta=a)\\ 2\ \text{個} & (0<\sin\theta<a\ \text{または}\ -1\le\sin\theta<0)\\ 1\ \text{個} & (\sin\theta=0) \end{cases}$$ （$\sin\theta=\allowbreak{}0$ は2次方程式の最高次係数が0になる特異点で，直線 $m$ が放物線の軸に平行になるために解が1個だけ有限にとどまる例外的な場合である。） 　 　 　 〔4〕C（正方形へのボールの落下と確率） 　 　 　 (1) $f(x)=\allowbreak{}x(a-x)=\allowbreak{}ax-x^2$ とおく。$f$ は $x=\allowbreak{}0,\allowbreak{}a$ を根にもつ上に凸な放物線で，最大値は $\displaystyle x=\allowbreak{}\dfrac a2$ で $\displaystyle f\left(\dfrac a2\right)=\allowbreak{}\dfrac{a^2}4$ である。$0<a\le2$ より $\displaystyle \dfrac{a^2}4\le1$ だから，$f(x)$ は$0\le x\le1$ の範囲でつねに $1$ 以下であり，$y\le1$ の制約は当たりの条件に影響しない。よって「当たり」の領域は，$0\le x\le1$ の各断面で $\displaystyle 0\le y\le\max(f(x),\allowbreak{}0)$ であり，正方形の面積が $1$ なので当たる確率はこの面積そのものに等しい： $$\displaystyle P(a)=\int_0^1\max(f(x),0)\,dx$$ 　 $0<a\le1$のとき：$0\le x\le a$で$f(x)\ge0$，$a<x\le1$で$f(x)<0$（$a\le1$より根$x=\allowbreak{}a$が区間内にある）から $$\displaystyle P(a)=\int_0^a(ax-x^2)\,dx=\left[\frac{ax^2}2-\frac{x^3}3\right]_0^a=\frac{a^3}2-\frac{a^3}3=\frac{a^3}6$$ 　 $1<a\le2$のとき：根 $x=\allowbreak{}a$ は $1$ より大きいから，$0\le x\le1$ の範囲全体で$f(x)\ge0$（$x=\allowbreak{}1$で$f(1)=\allowbreak{}a-1\ge0$も含む）となり $$\displaystyle P(a)=\int_0^1(ax-x^2)\,dx=\left[\frac{ax^2}2-\frac{x^3}3\right]_0^1=\frac a2-\frac13$$ 　 （検算：$a=\allowbreak{}1$ で両式とも $\displaystyle \dfrac16$ となり連続に接続する。また $a=\allowbreak{}2$ で $\displaystyle P=\allowbreak{}1-\dfrac13=\allowbreak{}\dfrac23<1$ で確率として妥当である。） 　 よって $$\displaystyle \boxed{P(a)=\begin{cases}\dfrac{a^3}6&(0<a\le1)\\[2mm]\dfrac a2-\dfrac13&(1<a\le2)\end{cases}}$$ 　 　 　 (2) $1$回目 $\displaystyle a=\allowbreak{}\dfrac12$（$0<a\le1$の枝）： $$\displaystyle P_1=\frac{(1/2)^3}6=\frac{1/8}6=\frac1{48}$$ $2$回目 $\displaystyle a=\allowbreak{}\dfrac32$（$1<a\le2$の枝）： $$\displaystyle P_2=\frac{3/2}2-\frac13=\frac34-\frac13=\frac9{12}-\frac4{12}=\frac5{12}$$ $2$回中ちょうど$1$回だけ当たる確率は，独立な試行として $$\displaystyle P_1(1-P_2)+(1-P_1)P_2=\frac1{48}\cdot\frac7{12}+\frac{47}{48}\cdot\frac5{12}=\frac7{576}+\frac{235}{576}=\frac{242}{576}=\frac{121}{288}$$ （検算：$121=\allowbreak{}11^2,\allowbreak{}\ 288=\allowbreak{}2^5\cdot3^2$ で公約数がなく既約。数値でも $P_1\approx0.0208,\allowbreak{}\ P_2\approx0.4167$ から，ちょうど1回の確率は $P_2$ にごく近い値になるはずで，$\displaystyle \dfrac{121}{288}\approx0.4201$ は妥当な大きさである。） 　 よって，求める確率は $\displaystyle \boxed{\dfrac{121}{288}}$ である。 　 　 　 (3) $a$ の値を固定して $3$ 回落とすときの当たる確率を $p=\allowbreak{}P(a)$（(1)の式）とする。各回独立で当たりの確率は共通に $p$ である。 　 「少なくとも1回当たる確率が $\displaystyle \dfrac{19}{27}$ 以上」は $$\displaystyle 1-(1-p)^3\ge\frac{19}{27}\ \quad\text{すなわち}\quad\ (1-p)^3\le\frac8{27}\ \quad\text{すなわち}\quad\ 1-p\le\frac23\ \quad\text{すなわち}\quad\ p\ge\frac13$$ （$0\le1-p\le1$ の範囲で $x\mapsto x^3$ は単調増加だから同値変形できる。） 　 「当たりの数の期待値が $\displaystyle \dfrac32$ 以下」は，$3$回の独立試行での当たり回数の期待値が $3p$ であるから $$\displaystyle 3p\le\frac32\ \quad\text{すなわち}\quad\ p\le\frac12$$ 　 以上より，条件は $\displaystyle \dfrac13\le p\le\dfrac12$ である。 　 $0<a\le1$（$\displaystyle p=\allowbreak{}\dfrac{a^3}6$）のとき：$\displaystyle \dfrac13\le\dfrac{a^3}6\le\dfrac12\quad\text{すなわち}\quad2\le a^3\le3\quad\text{すなわち}\quad\sqrt[3]2\le a\le\sqrt[3]3$。$\sqrt[3]2\approx1.26>1$ であるから，この範囲は $0<a\le1$ の範囲とまったく交わらず，解なし。 　 $1<a\le2$（$\displaystyle p=\allowbreak{}\dfrac a2-\dfrac13$）のとき： $$\displaystyle \frac13\le\frac a2-\frac13\le\frac12$$ 左側：$\displaystyle \dfrac a2\ge\dfrac23\quad\text{すなわち}\quad a\ge\dfrac43$。右側：$\displaystyle \dfrac a2\le\dfrac56\quad\text{すなわち}\quad a\le\dfrac53$。よって $\displaystyle \dfrac43\le a\le\dfrac53$ で，これは $1<a\le2$ に完全に含まれる（$\displaystyle \tfrac43>1,\allowbreak{}\ \tfrac53<2$）。 　 （検算：$\displaystyle a=\allowbreak{}\dfrac43$ のとき $\displaystyle p=\allowbreak{}\dfrac23-\dfrac13=\allowbreak{}\dfrac13$，少なくとも1回の確率は $\displaystyle 1-\left(\dfrac23\right)^3=\allowbreak{}1-\dfrac8{27}=\allowbreak{}\dfrac{19}{27}$ とちょうど一致する。$\displaystyle a=\allowbreak{}\dfrac53$ のとき $\displaystyle p=\allowbreak{}\dfrac56-\dfrac13=\allowbreak{}\dfrac12$，期待値は $\displaystyle 3\cdot\dfrac12=\allowbreak{}\dfrac32$ とちょうど一致する。両端点とも不等号が「以上」「以下」なので範囲に含まれる。） 　 よって，求める $a$ の値の範囲は $$\displaystyle \boxed{\frac43\le a\le\frac53}$$ である。

選択B(1)の放物線の概形。実線の頂点は$(-a^2,0)$、焦点は原点$O$、破線は準線$X=-2a^2$。