1九州大学 2003年 数学 第1問解答・解説

(1) $x=e^{-t}\cos t,\quad y=e^{-t}\sin t\quad(0\le t\le\pi)$ とおくと、 $$x'(t)=-e^{-t}(\cos t+\sin t),\qquad y'(t)=e^{-t}(\cos t-\sin t).$$ $\cos t+\sin t=0$ となるのは $t=3\pi/4$ であり、$\cos t+\sin t$ は $0\le t<3\pi/4$ で正、$3\pi/4<t\le\pi$ で負である。よって $x$ は $t=3\pi/4$ まで減少し、その後増加するから、 $$\displaystyle \min x=x(3\pi/4)=-\frac{e^{-3\pi/4}}{\sqrt2}.$$ また、$\cos t-\sin t=0$ となるのは $t=\pi/4$ であり、$y$ は $0\le t\le\pi/4$ で増加し、$\pi/4\le t\le\pi$ で減少する。端点では $y(0)=y(\pi)=0$ だから、 $$\displaystyle \max y=y(\pi/4)=\frac{e^{-\pi/4}}{\sqrt2}.$$ 曲線上の点は $t$ の増加につれて $$\displaystyle (1,0),\quad \left(\frac{e^{-\pi/4}}{\sqrt2},\frac{e^{-\pi/4}}{\sqrt2}\right),\quad (0,e^{-\pi/2}),\quad \left(-\frac{e^{-3\pi/4}}{\sqrt2},\frac{e^{-3\pi/4}}{\sqrt2}\right),\quad (-e^{-\pi},0)$$ を順に通る。$0<t<\pi$ では $y>0$ であり、$x$ は最後の区間で少し右へ戻る。この特徴を示す概形は次のとおりである（点の位置は見やすくした模式図）。

(2) $g(t)=\sin^2t\cos t$ とおくと、 $$g'(t)=2\sin t\cos^2t-\sin^3t=2\sin t-3\sin^3t.$$ また $(r^3)'=3r^2r'$ なので、部分積分により $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^\pi r^2r'\sin^2t\cos t\,dt &=\frac13\int_0^\pi (r^3)'g(t)\,dt\\ &=\frac13\left[r(t)^3\sin^2t\cos t\right]_0^\pi -\frac13\int_0^\pi r(t)^3g'(t)\,dt\\ &=-\frac13\int_0^\pi r(t)^3(2\sin t-3\sin^3t)\,dt\\ &=\int_0^\pi r(t)^3\left(\sin^3t-\frac23\sin t\right)\,dt. \end{aligned}$$ 境界項は $\sin 0=\sin\pi=0$ より $0$ である。よって示された。

(3) $x$ は $0\le t\le3\pi/4$ で減少し、$3\pi/4\le t\le\pi$ で増加する。したがって、$x$ が $x$ 軸上の終点 $-e^{-\pi}$ より左にある部分では、断面は曲線の二つの枝を外半径・内半径とする円環となり、それより右では円板となる。曲線を $t$ の増加方向にたどると、前半の枝が外側の半径を与え、折り返し後の枝が内側の半径を与える。この差を符号付き積分で表すと、$y=e^{-t}\sin t$ より $$\displaystyle \begin{aligned} V&=-\pi\int_0^\pi y(t)^2x'(t)\,dt\\ &=\pi\int_0^\pi e^{-3t}\sin^2t(\cos t+\sin t)\,dt. \end{aligned}$$ (2) に $r(t)=e^{-t}$ を代入すると、 $$\displaystyle -\int_0^\pi e^{-3t}\sin^2t\cos t\,dt =\int_0^\pi e^{-3t}\left(\sin^3t-\frac23\sin t\right)\,dt.$$ したがって、 $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^\pi e^{-3t}(\sin^2t\cos t+\sin^3t)\,dt\\ &=\frac{2\pi}{3}\int_0^\pi e^{-3t}\sin t\,dt. \end{aligned}$$ なお、$\displaystyle \int_0^\pi e^{-3t}\sin t\,dt=(1+e^{-3\pi})/10$ だから、$V=\pi(1+e^{-3\pi})/15$ である。