8弘前大学 2012年 数学 第8問解答・解説

(1) $f$ を微分すると $$f'(\theta)=-2\sin 2\theta-2\sin\theta=-2\sin\theta(2\cos\theta+1)$$ $0<\theta<\pi$ では $\sin\theta>0$ であり、$2\cos\theta+1=0$ となるのは $\theta=2\pi/3$ である。したがって $f$ は $0\le\theta\le2\pi/3$ で減少し、$2\pi/3\le\theta\le\pi$ で増加する。端点と極値での値は $$\displaystyle f(0)=3,\qquad f(2\pi/3)=-\frac32,\qquad f(\pi)=-1$$

$g$ を微分すると $$g'(\theta)=2\cos 2\theta+2\cos\theta=2(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1)$$ $0\leq\theta<\pi$ では $\cos\theta+1>0$ であり、$2\cos\theta-1$ は $\theta=\pi/3$ を境に正から負に変わる。よって $g$ は $0\le\theta\le\pi/3$ で増加し、$\pi/3\le\theta\le\pi$ で減少する。値は $$\displaystyle g(0)=0,\qquad g(\pi/3)=\frac{3\sqrt{3}}{2},\qquad g(\pi)=0$$

(2) 二倍角の公式から $$x+1=\cos 2\theta+2\cos\theta+1=2(1+\cos\theta)\cos\theta,\qquad y=\sin 2\theta+2\sin\theta=2(1+\cos\theta)\sin\theta$$ したがって点 $(-1,0)$ を極とする極座標で $r=2(1+\cos\theta)\geq0$ である。$\theta$ が $-\pi$ から $\pi$ まで増えると、曲線を反時計回りに一周する。細分した扇形面積 $\displaystyle \frac12r^2\Delta\theta$ の和を定積分に移すと $$\displaystyle S=\frac12\int_{-\pi}^{\pi}r^2\,d\theta=2\int_{-\pi}^{\pi}(1+\cos\theta)^2\,d\theta=2(2\pi+0+\pi)=6\pi$$