2島根大学 2013年 数学 第2問解答・解説

(1) 2点が異なるので $(a+3,b+3)\ne(0,0)$。求める直線は $$\boxed{(b+3)(x+3)-(a+3)(y+3)=0}.$$ これは $a=-3$ の垂直線の場合も含む。 (2) $\sin^2t=1-\cos^2t$ より $y=x^2/4-1$、$-2\le x\le2$。逆にこの範囲の $x$ は $2\cos t$ で表せるので、頂点 $(0,-1)$、端点 $(-2,0),(2,0)$ を含む放物線の弧が求める概形。 (3) $u=\cos t$ とおくと $-1\le u\le1$ であり $$\displaystyle f(t)=g(u)=\frac{u^2+2}{2u+3},\quad g'(u)=\frac{2(u^2+3u-2)}{(2u+3)^2}.$$ 区間内の導関数の零点は $c=(-3+\sqrt{17})/2$ のみ。$g$ は $-1\le u\le c$ で減少、$c\le u\le1$ で増加する。$g(-1)=3,g(1)=3/5$ より最大値は $\boxed3$。$c^2+3c-2=0$ から $c^2+2=c(2c+3)$ なので最小値は $g(c)=\boxed{(\sqrt{17}-3)/2}$。それぞれ $\cos t=-1,c$ で実現する。