4信州大学 2013年 数学 第4問解答・解説

(1) $t=x+\pi/4$ とおくと、$0\le x+\pi/4\le\pi$ より $0\le t\le\pi$。したがって $$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin t$$ の値域は $0\le\sin x+\cos x\le\sqrt2$ であり、両端はそれぞれ $t=0,\pi$ と $t=\pi/2$ で実現する。

(2) $y=\sin x+\cos x$ とおけば、(1)より $y$ は $0\le y\le\sqrt2$ の全ての値をとる。また $$y^2=\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=1+\sin2x.$$ よって求める式は $$\displaystyle \sin2x-\sin x-\cos x=y^2-y-1=\left(y-\frac12\right)^2-\frac54.$$ 最小値は $y=1/2$ で実現し、$-5/4$。この二次関数は下に凸（係数が正）なので、$0\le y\le\sqrt2$ の範囲での最大値は端点で比較する。 $$g(0)=-1,\qquad g(\sqrt2)=1-\sqrt2>-1.$$ 従って最大値は $1-\sqrt2$。$y=0$ は $x=-\pi/4$ または $3\pi/4$、$y=\sqrt2$ は $x=\pi/4$ で実際にとる。