3信州大学 2013年 数学 第3問解答・解説

$a=a_1\le b=a_2\le c=a_3$ とおく。(1)では $1=1/a+1/b+1/c\le3/a$ より $a\le3$。$a=1$ は残り二項の和が0となり不可能。$a=2$ なら $1/b+1/c=1/2$、かつ $b\le c$ から $1/2\le2/b$、従って $2\le b\le4$。$b=2$ は不可能、$b=3$ なら $c=6$、$b=4$ なら $c=4$。$a=3$ なら各残り項は高々 $1/3$ で和が $2/3$ なので $b=c=3$。よって答えは $(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)$。

(2) 固定した $r>0$ に対し、$r=1/a+1/b+1/c\le3/a$ より $a\le3/r$。したがって $a$ の候補は有限。$a$ を固定し $s=r-1/a$ とすると、$s\le0$ なら解なし。$s>0$ の場合、$b\le c$ から $s=1/b+1/c\le2/b$、すなわち $b\le2/s$。よって $b$ の候補も有限。各 $(a,b)$ に対し $1/c=s-1/b$ なので、右辺が正なら $c$ は高々1つに定まり、正整数でない場合には解がない。有限個の $(a,b,c)$ しかない。

非減少自然数a≦b≦cで逆数和1となる三つは(2,3,6),(2,4,4),(3,3,3)。任意の正の有理数rについて等式を満たす三つ組は有限個。