1信州大学 2013年 数学 第1問解答・解説

nを正の整数とし、和の添字をkとする。 (1) 定義から $$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^{n}a_k=\sum\limits _{k=1}^{n}(1+(-1)^k)=n+\sum\limits _{k=1}^{n}(-1)^k.$$ $\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}(-1)^k$ は、nが偶数なら隣り合う項を組にして0、nが奇数なら最後に-1が残るので、 $$\displaystyle \sum\limits _{k=1}^{n}(-1)^k=\begin{cases}0&(n\text{ 偶数})\\-1&(n\text{ 奇数})\end{cases}=-\frac{1-(-1)^n}{2}.$$ したがって $$\displaystyle S_n=n-\frac{1-(-1)^n}{2}=\begin{cases}n&(n\text{ 偶数})\\n-1&(n\text{ 奇数})\end{cases}.$$

(2) 同様に $$\displaystyle T_n=\sum\limits _{k=1}^{n}b_k=\sum\limits _{k=1}^{n}(k+(-1)^k)=\frac{n(n+1)}2+\sum\limits _{k=1}^{n}(-1)^k.$$ 同じ交代和を用いると、 $$\displaystyle T_n=\frac{n(n+1)}2-\frac{1-(-1)^n}{2}=\frac{n(n+1)-1+(-1)^n}{2} =\begin{cases}\frac{n(n+1)}2&(n\text{ 偶数})\\\frac{n(n+1)}2-1&(n\text{ 奇数})\end{cases}.$$