2福井大学 2013年 数学 第2問解答・解説

漸化式を変形すると $$\displaystyle a_{n+1}-1=\frac45(a_n-1)$$ である。初項 $a_1-1=-2$ だから、数列 $\{a_n-1\}$ は初項 $-2$、公比 $\displaystyle \frac45$ の等比数列となり、 $$\displaystyle a_n=1-2\left(\frac45\right)^{n-1}.$$

(2) 等比数列の和を用いると $$\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^n\left\{1-2\left(\frac45\right)^{k-1}\right\} =n-2\frac{1-(4/5)^n}{1-4/5} =n-10+10\left(\frac45\right)^n.$$

(3) 一般項から $a_1,a_2,a_3,a_4<0$、$a_5>0$ であり、$a_n$ は $n$ とともに増加する。実際、 $$\displaystyle a_{n+1}-a_n=\frac25\left(\frac45\right)^{n-1}>0.$$ また $a_5>0$ なので、以後も $a_n>0$ である。従って $S_n$ は $n=1$ から $4$ までは減少し、$n\ge4$ では増加する。よって $1\le n\le8$ における最大値は $S_1$ または $S_8$ である。計算すると $$\displaystyle S_1=-1<0,\qquad S_8=-2+10\left(\frac45\right)^8=-\frac{25178}{78125}<0,$$ だから $S_n<0$ for $1\le n\le8$。一方 $$\displaystyle S_9=-1+10\left(\frac45\right)^9=\frac{133663}{390625}>0.$$ 従って $S_n>0$ となる最小の自然数は $n=9$ である。