4福井大学 2013年 数学 第4問解答・解説

双曲線 $\displaystyle C:\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{9}=1$ の焦点は $(\pm5,0)$ であるから、$F=(5,0)$ である。

双曲線 $\displaystyle \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $(x_1,y_1)$ における接線は $$\displaystyle \dfrac{xx_1}{a^2}-\dfrac{yy_1}{b^2}=1$$ である。したがって、$B=(4,0)$ における接線は $x=4$、$A$ における接線は $$\displaystyle \dfrac{x}{4\cos\theta}-\dfrac{y\tan\theta}{3}=1$$ となる。

(1) $x=4$ を後者に代入すると $$\displaystyle \dfrac{1}{\cos\theta}-\dfrac{y\tan\theta}{3}=1, \qquad y=3\dfrac{1-\cos\theta}{\sin\theta}=3\tan\dfrac{\theta}{2}.$$ よって $$\displaystyle D=\left(4,3\tan\dfrac{\theta}{2}\right).$$

(2) $\displaystyle m=\tan\dfrac{\theta}{2}$ とおくと、$\overrightarrow{FD}=(-1,3m)$、$\overrightarrow{FB}=(-1,0)$ である。これらの内積は $1>0$ なので $\angle DFB$ は鋭角であり、二つの成分の積の差の絶対値は $3m$ である。したがって $$\displaystyle \tan\angle DFB=\dfrac{3m}{1}=3m.$$

(3) $\displaystyle 0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より $0<m<1$ である。また $$\displaystyle \cos\theta=\dfrac{1-m^2}{1+m^2},\qquad \tan\theta=\dfrac{2m}{1-m^2}$$ だから $$\displaystyle A=\left(\dfrac{4(1+m^2)}{1-m^2},\dfrac{6m}{1-m^2}\right),\qquad \overrightarrow{FA}=\left(\dfrac{9m^2-1}{1-m^2},\dfrac{6m}{1-m^2}\right).$$ $\alpha=\angle AFB$、$\beta=\angle DFB$ とおく。$0<\alpha<\pi$ であり、$\overrightarrow{FB}=(-1,0)$ である。また $1-m^2>0$ より $$\displaystyle |\overrightarrow{FA}|=\dfrac{\sqrt{(9m^2-1)^2+36m^2}}{1-m^2}=\dfrac{9m^2+1}{1-m^2}.$$ したがって、$\overrightarrow{FA}$ と $\overrightarrow{FB}$ の内積および平面の二つの成分の積の差の絶対値をこの長さで割ると $$\displaystyle \cos\alpha=\dfrac{1-9m^2}{1+9m^2},\qquad \sin\alpha=\dfrac{6m}{1+9m^2}.$$ 一方、(2)より $\tan\beta=3m$、かつ $\displaystyle 0<\beta<\dfrac{\pi}{2}$ だから、倍角公式により $$\displaystyle \cos 2\beta=\dfrac{1-9m^2}{1+9m^2},\qquad \sin 2\beta=\dfrac{6m}{1+9m^2}.$$ $0<\alpha<\pi$、$0<2\beta<\pi$ で正弦と余弦がそれぞれ等しいため、$\alpha=2\beta$ である。さらに、$\overrightarrow{FB}$ の方向角は $\pi$、$\overrightarrow{FD}=(-1,3m)$ の方向角は $\pi-\beta$、$\overrightarrow{FA}$ の方向角は $\pi-\alpha=\pi-2\beta$ である。よって $\overrightarrow{FD}$ は $\overrightarrow{FA}$ と $\overrightarrow{FB}$ の間にあり、 $$\angle AFD=\alpha-\beta=\beta=\angle DFB.$$ したがって、直線 $DF$ は $\angle AFB$ を二等分する。