1東海大学 2014年 数学 第1問解答・解説

(1) $$x^2-10x+y^2+24y=0 \quad\text{すなわち}\quad (x-5)^2-25+(y+12)^2-144=0 \quad\text{すなわち}\quad (x-5)^2+(y+12)^2=169.$$ したがって、中心は $(5,-12)$、半径は $13$ である。

(2) $$\displaystyle \cos 2\theta=2\cos^2\theta-1 =2\left(\frac34\right)^2-1=\frac18.$$ また $0<\theta<\pi$ より $0<\theta/2<\pi/2$ だから、半角の正の値をとり、 $$\displaystyle \sin\frac{\theta}{2} =\sqrt{\frac{1-\cos\theta}{2}} =\sqrt{\frac18}=\frac{\sqrt2}{4}.$$

(3) $$\vec a\cdot\vec b=1\cdot3+(-2)(-1)+3\cdot2=11, \qquad |\vec a|=|\vec b|=\sqrt{14}.$$ したがって、 $$\displaystyle \cos\theta=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|} =\frac{11}{14}.$$

(4) 点 $P=(7,14)$ とし、直線 $2x-3y+2=0$ への垂線の足を $H$ とする。法線ベクトルは $(2,-3)$ であり、点 $P$ での左辺の値は $2\cdot7-3\cdot14+2=-26$ だから、 $$\displaystyle H=P-\frac{-26}{2^2+(-3)^2}(2,-3) =(7,14)+2(2,-3)=(11,8).$$ 実際に $2\cdot11-3\cdot8+2=0$ である。よって対称な点は $$2H-P=(22,16)-(7,14)=(15,2).$$

(5) $$\log_{10}(2^{85})=85\log_{10}2=85\cdot0.301=25.585.$$ $25<25.585<26$ より $10^{25}<2^{85}<10^{26}$ である。したがって $2^{85}$ は $26$ 桁である。