3宮崎大学 2016年 数学 第3問解答・解説

(1) 方程を因数分解すると $$z^3-z^2-iz+i=(z-1)(z^2-i)=0.$$ また $((1+i)/\sqrt2)^2=i$ であるから、3解は $1,(1+i)/\sqrt2,-(1+i)/\sqrt2$ である。それぞれの偏角は $0,\pi/4,5\pi/4$ なので $$\displaystyle \alpha=1,\qquad \beta=\frac{1+i}{\sqrt2},\qquad \gamma=-\frac{1+i}{\sqrt2}.$$ 以下 $r=1/\sqrt2$ とおくと $A=(1,0), B=(r,r), C=(-r,-r)$ である。

反射の座標を求めるため、直線 $ux+vy+w=0$ と点 $P=(p,q)$ に対し $F=up+vq+w$ とおく。垂線の足は $P-F(u,v)/(u^2+v^2)$ である（この点を直線に代入すると0となり、差は法線方向）。したがって反射点は $$\displaystyle P-\frac{2F}{u^2+v^2}(u,v)$$ である。

(2)　 $B,C$ は直線 $y=x$ 上にあり、$BC=\sqrt{(2r)^2+(2r)^2}=2$ である。点 $A=(1,0)$ と直線 $y=x$ の距離は $1/\sqrt2$ だから $$\displaystyle [ABC]=\frac12\cdot2\cdot\frac1{\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}.$$

(3)　 直線 $AC$ の傾きは $r/(1+r)=\sqrt2-1$ だから、その方程式は $(\sqrt2-1)x-y-(\sqrt2-1)=0$ である。点 $B$ に対して $F=-2(\sqrt2-1)$、法線係数の平方和は $2(2-\sqrt2)$ であり、$2F/(u^2+v^2)=-\sqrt2$ となる。よって反射点は $$D=(r,r)+\sqrt2(\sqrt2-1,-1)=(2-r,-r).$$ また直線 $AB$ の方程式は $(\sqrt2+1)x+y-(\sqrt2+1)=0$ である。点 $C$ に対して $F=-2(\sqrt2+1)$、法線係数の平方和は $2(2+\sqrt2)$ であり、同じく $2F/(u^2+v^2)=-\sqrt2$ となる。したがって $$E=(-r,-r)+\sqrt2(\sqrt2+1,1)=(2+r,r).$$

$D=(2-r,-r)$ と $E=(2+r,r)$ の中点は $O=(2,0)$ であり、$OD=OE=1$ である。また $OA=1$ である。直線 $DE$ は傾き1で $O$ を通るため $y=x-2$ であり、$A=(1,0)$ はこの直線上にない。したがって3点は一直線上になく、これらを通る円の中心は $O$、半径は1である。よって円の方程式は $$(x-2)^2+y^2=1.$$ $z=x+yi$ とすると $z\bar z=x^2+y^2$、$z+\bar z=2x$ なので、これを指定形に直せば $$z\bar z-2z-2\bar z+3=0.$$ したがって $s=-2,\ t=-2,\ u=3$ である。