1宮崎大学 2016年 数学 第1問解答・解説

採用解説: MM-a57728e9a260-Q1 結論　 (1) $X^2-6X+8\leq0$、すなわち $2\leq X\leq4$。　　 (2) $x\neq0,\quad(2+\sqrt3)^{-|x|}\leq y\leq(2+\sqrt3)^{|x|}$。$(0,1)$ は除く。

(1) $x=0$ では与えられた式が定義されないので、$x\neq0$ である。$t=y^{1/x}$ とおくと $t>0$ であり、$X=t+t^{-1}$ だから、 $$\displaystyle X-2=t+t^{-1}-2=\frac{(t-1)^2}{t}\geq0$$ より $X\geq2$ である。また $$y^{2/x}+y^{-2/x}=t^2+t^{-2}=(t+t^{-1})^2-2=X^2-2.$$ である。 したがって与えられた不等式は $$X^2-2-6X+10\leq0,\qquad (X-2)(X-4)\leq0$$ となる。これと $X\geq2$ より $2\leq X\leq4$ を得る。

(2) $t>0$ なので、$X\leq4$ は $$t+t^{-1}\leq4\quad\text{すなわち}\quad t^2-4t+1\leq0$$ と同値である。この二次不等式の解は $2-\sqrt3\leq t\leq2+\sqrt3$ である。ここで $b=2+\sqrt3$ とおけば $2-\sqrt3=b^{-1}$ である。$x>0$ のとき $y=t^x$ であり、$t^x$ は $t>0$ で増加するから $b^{-x}\leq y\leq b^x$ となる。$x<0$ のときは $t^x$ が $t>0$ で減少するから $b^x\leq y\leq b^{-x}$ となる。よって求める領域は $$x\neq0,\qquad b^{-|x|}\leq y\leq b^{|x|}\quad(b=2+\sqrt3).$$ である。座標平面では 曲線 $y=(2+\sqrt3)^{-|x|}$ と $y=(2+\sqrt3)^{|x|}$ の間を左右それぞれ塗る。各曲線上の $x\neq0$ の点は含み、両曲線の交点 $(0,1)$ は $x=0$ で式が定義されないため除く。