2宮崎大学 2016年 数学 第2問解答・解説

一辺の長さを $1$、対角線の長さを $d$ とする。正五角形の外接円で隣り合う頂点に対する中心角は $72^\circ$ である。対角線 $OB$ と $AC$ の交点を $P$ とおく。正五角形の内角は $108^\circ$ だから、二等辺三角形 $OAB$ では $\angle AOB=\angle ABO=36^\circ$。また、$\angle BAC=36^\circ$ なので、$\angle OAP=\angle OAC=108^\circ-36^\circ=72^\circ$。したがって三角形 $OAP$ の角は $36^\circ,72^\circ,72^\circ$ であり、$OA=OP=1$ である。

三角形 $ABP$ では $\angle BAP=\angle ABP=36^\circ$ だから、$AP=PB$ である。正弦定理を三角形 $OAP$、$OAB$ にそれぞれ用いると、$$\displaystyle \frac{AP}{OA}=\frac{\sin36^\circ}{\sin72^\circ},\qquad \frac{OB}{OA}=\frac{\sin108^\circ}{\sin36^\circ}=\frac{\sin72^\circ}{\sin36^\circ}.$$ よって $AP=1/d$。また $P$ は $OB$ 上にあるから、$$\displaystyle d=OB=OP+PB=1+\frac1d.$$ ここで $d>0$ より $d^2-d-1=0$ の正の解をとり、$$\displaystyle d=\frac{1+\sqrt5}{2}$$ を得る。

正五角形の配置から $\overrightarrow{DC}$ と $\overrightarrow{OB}$ は同じ向きで平行であり、$|DC|=1, |OB|=d$ なので $k=1/d=(\sqrt5-1)/2$ である。また、$\angle ABO=\angle BOC=36^\circ$ は直線 $OB$ を横切る錯角だから $AB\parallel OC$ であり、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{OC}$ は同じ向きである。$|AB|=1, |OC|=d$ と $\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$ から、$$\displaystyle \vec{x}=d(\vec b-\vec a)=\frac{1+\sqrt5}{2}(\vec b-\vec a).$$ さらに $\overrightarrow{DC}=\vec{x}-\vec{y}=k\vec b$ より、$$\displaystyle \vec{y}=\vec{x}-k\vec b=\frac{1+\sqrt5}{2}(\vec b-\vec a)-\frac{\sqrt5-1}{2}\vec b=\vec b-\frac{1+\sqrt5}{2}\vec a.$$

$|\vec a|=1, |\vec b|=d$ で、$|\vec b-\vec a|=|AB|=1$ だから、$$\displaystyle 1=|\vec b-\vec a|^2=d^2+1-2\vec a\cdot\vec b,\qquad \vec a\cdot\vec b=\frac{d^2}{2}.$$ よって $\cos\theta=(\vec a\cdot\vec b)/(|\vec a||\vec b|)=d/2=(1+\sqrt5)/4$。最後に、$$\displaystyle \vec a\cdot\vec x=d(\vec a\cdot\vec b-|\vec a|^2)=d\left(\frac{d^2}{2}-1\right)=\frac{d(d-1)}2=\frac12,$$ ここで $d^2=d+1$ を用いた。