4宮崎大学 2016年 数学 第4問解答・解説

一致を M，不一致を N とする。各試行では球を袋に戻すので，試行ごとの結果は独立である。一致するのは赤球どうしまたは白球どうしを取り出す場合だから， $$\displaystyle p=P(M)=\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{5}{9},\qquad q=P(N)=1-p=\frac{4}{9}.$$

(1) よって求める確率は $\displaystyle \dfrac{5}{9}$ である。

(2) 2回では，条件を満たす結果は $MN,NM$ である。したがって $$\displaystyle P_2=2pq=2\cdot\frac{5}{9}\cdot\frac{4}{9}=\frac{40}{81}.$$ 3回では，条件を満たす結果は $MNN,NMN,NNM,MNM$ である。よって $$\displaystyle P_3=3pq^2+p^2q=3\cdot\frac{5}{9}\left(\frac{4}{9}\right)^2+\left(\frac{5}{9}\right)^2\frac{4}{9}=\frac{340}{729}.$$

(3) 最後の試行が N の場合，最初の $n-1$ 回は条件を満たす必要があるから，この場合の確率は $qP_{n-1}$ である。最後の試行が M の場合，その直前は N でなければならない。最初の $n-2$ 回が条件を満たし少なくとも1回 M を含む場合と，最初の $n-2$ 回がすべて N の場合に分けると，この場合の確率は $$pqP_{n-2}+pq^{n-1}$$ となる。したがって $$P_n=qP_{n-1}+pqP_{n-2}+pq^{n-1}.$$ ここに $\displaystyle p=\dfrac{5}{9},\ q=\dfrac{4}{9}$ を代入すれば， $$\displaystyle P_n=\frac{4}{9}P_{n-1}+\frac{20}{81}P_{n-2}+\frac{5\cdot4^{n-1}}{9^n}$$ を得る。