3札幌医科大学 2016年 数学 第3問解答・解説

文字の選択と消去の確率を順に考える。消去が起こらなければ残っている文字数は1増える。規則1で消去が起こると追加した文字が残らず、規則2で消去が起こると追加した文字と少なくとも末尾のBが消える。したがって、消去が一度でも起これば、その後の各回で文字数が最大1ずつ増えても、最後に $n$ 文字すべてが残ることはない。よって $a_n=n$ となるのは、書いた $n$ 回のすべてで消去が起こらない場合である。

まず2文字を書いた時点での文字列とその確率は $$\displaystyle P(AA)=\frac14,\quad P(AB)=\frac1{12},\quad P(A)=\frac16,\quad P(BA)=\frac14,\quad P(BB)=\frac14.$$ ここで $AB$ は、2文字目のBが消去されずに残る場合である。

(1) $a_3=2$ となる経路は、2文字目までが $AA$ または $BA$ で、3文字目にBを書いてそれが消去される場合と、2文字目までに $A$ だけが残っていて、3文字目を書いた後に2文字残る場合である。前者の各確率は $$\displaystyle \frac14\cdot\frac12\cdot\frac23=\frac1{12},$$ 後者の条件付き確率は、Aの後にAを書く場合、またはBを書いてそのBが残る場合を合わせて $$\displaystyle \frac12+\frac12\cdot\frac13=\frac23$$ である。したがって $$\displaystyle P(a_3=2)=\frac1{12}+\frac1{12}+\frac16\cdot\frac23 =\frac5{18}.$$

(2) 3文字を書き終えた時点で $A,AB,ABB$ となっている確率は、それぞれ $$\displaystyle P(A)=\frac1{12},\qquad P(AB)=\frac1{36},\qquad P(ABB)=\frac1{24}.$$ 最後の1回で1文字だけ残るには、これらの状態から、順にBを書いて消去される、Aを書いて規則2で消去される、Aを書いて規則2で消去される、のいずれかである。各場合の条件付き確率はいずれも $\displaystyle \frac12\cdot\frac23=\frac13$ である。他の状態からは1回の追加で1文字だけにはならない。ゆえに $$\displaystyle P(a_4=1)=\frac1{12}\cdot\frac13+ \frac1{36}\cdot\frac13+ \frac1{24}\cdot\frac13 =\frac{11}{216}.$$

(3) 消去が一度も起きていない場合の状態を、最後の文字がAである状態、その左側にAがあるBで終わる状態、すべてBである状態に分け、それぞれの確率を $A_n,B_n,C_n$ とする。すると $$\displaystyle \begin{aligned} A_{n+1}&=\frac12A_n+\frac16B_n+\frac12C_n,\\ B_{n+1}&=\frac16A_n+\frac12B_n,\\ C_{n+1}&=\frac12C_n, \end{aligned} \qquad (A_1,B_1,C_1)=\left(\frac12,0,\frac12\right).$$ たとえば最後がAの状態からBを書くときは、確率 $\displaystyle \frac12$ でBを書き、そのBが確率 $\displaystyle \frac13$ で残るため、$B_{n+1}$ への寄与は $\displaystyle \frac16A_n$ である。 $S_n=A_n+B_n$ とおくと $C_n=2^{-n}$ であり、 $$\displaystyle S_{n+1}=\frac23S_n+\frac12\,2^{-n},\qquad S_1=\frac12.$$ これを解くと $$\displaystyle S_n=2\left(\frac23\right)^{n-1}-\frac32\left(\frac12\right)^{n-1}.$$ よって、すべての文字が残る確率は $$\displaystyle P(a_n=n)=S_n+C_n =2\left(\frac23\right)^{n-1}-\left(\frac12\right)^{n-1} \qquad(n\geq1).$$ $n=1$ で確率が1となり、$n=2$ では $\displaystyle \frac56$ となる。後者は2文字の全状態の確率を合計した値とも一致する。