II慶應義塾大学 2016年 数学 第II問解答・解説

(1) 1回の操作後の状態から次の状態へ移る確率を用いると、$A$は$A$に$1/2$で留まり、$C$からは必ず$A$へ移る。$A$から$B$、$B$から$B,C$へはそれぞれ確率$1/2$で移る。従って $$\displaystyle a_n=\frac12a_{n-1}+c_{n-1},\quad b_n=\frac12a_{n-1}+\frac12b_{n-1},\quad c_n=\frac12b_{n-1}.$$

(2) 常に$a_n+b_n+c_n=1$。上の関係から $$\displaystyle b_{n+1}=\frac12(a_n+b_n)=\frac12-\frac14b_{n-1}\quad(n\ge1).$$ 偶数番目と奇数番目に分け、この一次漸化式を解くと $$\displaystyle b_{2m}=\frac25-\frac25(-\tfrac14)^m,\qquad b_{2m-1}=\frac25+\frac1{10}(-\tfrac14)^{m-1}.$$ さらに$b_{n+1}=(a_n+b_n)/2$、すなわち$a_n=2b_{n+1}-b_n$を使えば $$\displaystyle a_{2m-1}=\frac25\left(1-(-\tfrac14)^m\right),\qquad a_{2m}=\frac25+\frac35(-\tfrac14)^m.$$ 例えば$(a_1,b_1)=(1/2,1/2)$、$(a_2,b_2)=(1/4,1/2)$となり初回の推移と一致する。

(3) Cへの初到達前だけを考える。時刻$r$でC未到達かつAにいる確率は$2^{-r}$。Bにいる確率を$w_r$とすると$w_0=0$、$w_{r+1}=2^{-r-1}+w_r/2$であり、$2^rw_r$は$r$となるので$w_r=r/2^r$。時刻$n-1$でC未到達のBから次の操作でCへ移る確率は$1/2$だから $$\displaystyle d_n=\frac12w_{n-1}=\frac{n-1}{2^n}.$$

(4) 初到達後、Cから次の操作で必ずAへ戻る。Cを初めて時刻$k$に訪れ、その後$r$回の操作でCを再訪しない確率を考える。Aから始めて$r$回C未到達である確率は、時刻rでAにいる$2^{-r}$とBにいる$r/2^r$の和、すなわち$(r+1)/2^r$。したがって、時刻nでちょうど1回だけCを訪れ、終点がAまたはBである確率は $$\displaystyle e_n=\sum\limits _{k=2}^{n-1}d_k\frac{n-k}{2^{n-k-1}} =\frac1{2^{n-1}}\sum\limits _{k=2}^{n-1}(k-1)(n-k).$$ $j=k-1$、$N=n-1$とすれば和は$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^{N-1}j(N-j)=N(N^2-1)/6=n(n-1)(n-2)/6$。よって $$\displaystyle e_n=\frac{n(n-1)(n-2)}{3\cdot2^n}.$$ 空和となる$n=1,2$でも式は0を与える。