IV慶應義塾大学 2016年 数学 第IV問解答・解説

(1) 極座標で$P=(r\cos\theta,r\sin\theta)$と書くと、$\theta'=1$より $$\vec v=(r'\cos\theta-r\sin\theta,\ r'\sin\theta+r\cos\theta).$$ $\vec b=(\cos\theta,\sin\theta)$は動径方向の単位ベクトルなので$\vec v\cdot\vec b=r'$。また $$|\vec v|^2=(r')^2+r^2$$ （動径方向と接線方向の成分は直交する）。従って $$\displaystyle \cos\alpha=\frac{\vec v\cdot\vec b}{|\vec v|}=\frac{r'}{\sqrt{(r')^2+r^2}}.$$

(2) $\alpha=\pi/4$より$r'/\sqrt{(r')^2+r^2}=1/\sqrt2$。両辺の符号から$r'>0$であり、二乗して$(r')^2=r^2$、ゆえに$r'=r$。初期条件$r(0)=1$のもとでこの微分方程式を解くと$r(t)=e^t$。

(3) 各動点について(2)より$r_i(t)=e^t$。極座標の速度を動径・接線の単位方向で書けば $$\vec v_i=e^t(\vec e_{r_i}+\vec e_{\theta_i}),$$ したがって速度の向きの偏角は$\theta_i+\pi/4$、速さは$|\vec v_i|=\sqrt2e^t$。速度ベクトルが垂直という条件から $$0=\vec v_1\cdot\vec v_2=|\vec v_1||\vec v_2|\cos(\theta_1-\theta_2),$$ 従って$\theta_1-\theta_2$は$\pm\pi/2$を法として一定である（両偏角の導関数はともに1）。二点間の距離を$d(t)$とすれば、余弦定理により $$d(t)^2=e^{2t}+e^{2t}-2e^{2t}\cos(\theta_1-\theta_2)=2e^{2t},$$ よって$d(t)=\sqrt2e^t$。一方、点$P_2$の軌道に沿う道のりは速さの積分なので $$\displaystyle \ell(s,u)=\int_s^u|\vec v_2(t)|dt=\int_s^u\sqrt2e^t dt=\sqrt2(e^u-e^s)=d(u)-d(s).$$ これは求める等式である。