III慶應義塾大学 2016年 数学 第III問解答・解説

(1) 点A,Bの水平成分をそれぞれ$\mathbf a,\mathbf b$とする。$z_A=-1,z_B=1$、$|OA|=|OB|=\ell$より$|\mathbf a|=|\mathbf b|=\sqrt{\ell^2-1}$。角$AOB=\pi/3$には$A\cdot B=\ell^2/2$が必要で、従って $$\displaystyle \mathbf a\cdot\mathbf b=\frac{\ell^2}{2}+1.$$ 水平成分の内積が取り得る範囲は$[-(\ell^2-1),\ell^2-1]$。上の正の値がこの範囲に入る条件は$\ell^2/2+1\le\ell^2-1$、すなわち$\ell\ge2$。この条件は水平ベクトルのなす角を選ぶことで実現できるため必要十分である。

水平投影間の角の余弦が$2/3$なら$\displaystyle \mathbf a\cdot\mathbf b=\frac23(\ell^2-1)$。これを$A\cdot B=\ell^2/2$と一致させると $$\displaystyle \frac23(\ell^2-1)-1=\frac{\ell^2}{2},\qquad \ell^2=10.$$ $\ell\ge1$より$\ell=\sqrt{10}$。

(2) 回転対称性を使って$A=(0,3,-1)$と置ける。$A\cdot B=\ell^2/2=5$より、$B=(x,y,1)$は$3y-1=5$、すなわち$y=2$。水平成分の長さが3なので$x^2+4=9$。指定の正値から$x=\sqrt5$、従って$B=(\sqrt5,2,1)$。また$OA=OB=AB=\sqrt{10}$である。正四面体の頂点$C=(x,y,z)$について$OC=AC=BC=\sqrt{10}$だから $$A\cdot C=B\cdot C=5,\quad |C|^2=10.$$ 前二式から$z=3y-5$、$x=\sqrt5(2-y)$。これを$|C|^2=10$に代入すると $$15y^2-50y+35=0,$$ 従って候補は$(x,y,z)=(\sqrt5,1,-2)$または$(-\sqrt5/3,7/3,2)$。$z$が正である条件から後者を選ぶ。

平面$y+3z=t$で各頂点の値は$O,A$で0、$B$で5、$C$で$25/3$。したがって$0<t<5$では、低い値0をもつ辺$OA$から高い値の頂点$B,C$へ向かう4辺と平面が交わり、切り口は四角形となる。$t=0$では辺$OA$となる。$t=5$では$\displaystyle B,\frac35C,\frac25A+\frac35C$を頂点とする非退化三角形となり、$\displaystyle 5<t<\frac{25}{3}$でも三角形である。$\displaystyle t=\frac{25}{3}$では点$C$となり、$t<0$または$\displaystyle t>\frac{25}{3}$では交わらない。

$OB,AB$上の交点は各辺を割合$t/5$だけ進んだ位置にあるので、それらを結ぶ底辺の長さは$\sqrt{10}(1-t/5)$。$OC,AC$上の交点は割合$3t/25$の位置にあり、もう一方の底辺は$\sqrt{10}(1-3t/25)$。ゆえに底辺の和は $$\displaystyle \sqrt{10}\left(2-\frac{8t}{25}\right)=\frac{2\sqrt{10}}{25}(25-4t).$$ $OA$方向は$x=0$平面内にあり、切断平面内でこれに垂直な方向はx軸方向である。底辺の端点を$X=(t/5)B$、$Y=(3t/25)C$とすれば、そのx座標差が台形の高さなので $$\displaystyle h=|X_x-Y_x|=\left|\frac{\sqrt5t}{5}+\frac{\sqrt5t}{25}\right|=\frac{6\sqrt5}{25}t.$$ 台形の面積は $$\displaystyle S(t)=\frac12(L_{upper}+L_{lower})h=\frac{3\sqrt2}{5}t\left(2-\frac{8t}{25}\right),\quad 0<t<5.$$ 二次の係数が$\displaystyle -\frac{24\sqrt2}{125}<0$なので、これは上に凸の二次関数で、頂点は$t=25/8$。そのとき底辺和は$\sqrt{10}$、高さは$3\sqrt5/4$なので $$\displaystyle S_{max}=\frac12\sqrt{10}\cdot\frac{3\sqrt5}{4}=\frac{15\sqrt2}{8}.$$