1名古屋大学 2016年 数学 第1問解答・解説

曲線上の点を座標で表し、直角条件を内積で表す。問題の順序条件 $-2<t<b$ より $$\overrightarrow{TA}=(-2-t,4-t^2)=(t+2)(-1,2-t),\qquad \overrightarrow{TB}=(b-t,b^2-t^2)=(b-t)(1,b+t).$$ したがって $$\overrightarrow{TA}\cdot\overrightarrow{TB} =(t+2)(b-t)\bigl((2-t)(b+t)-1\bigr).$$ ここで $t+2>0,\ b-t>0$ なので、直角条件は $$(2-t)(b+t)=1$$ と同値である。

$u=2-t$ と置くと $u>0$ であり、 $$\displaystyle b=u+\frac1u-2.$$ また $t>-2$ は $u<4$、$t<b$ は $$\displaystyle 2-u<u+\frac1u-2 \quad\text{すなわち}\quad 2u^2-4u+1>0$$ と同値である。よって $$\displaystyle 0<u<\alpha\quad\hbox{または}\quad \beta<u<4, \qquad \alpha=1-\frac{\sqrt2}{2},\quad \beta=1+\frac{\sqrt2}{2}.$$ $b=f(u)=u+1/u-2$ とおく。

まず条件を満たす $u$ があるとする。$0<u<\alpha$ なら $$\displaystyle f(u)-f(\alpha)=(u-\alpha)\left(1-\frac1{u\alpha}\right)>0, \qquad f(\alpha)=\beta>\alpha,$$ である。$\beta<u<4$ なら $$\displaystyle f(u)-f(\beta)=(u-\beta)\left(1-\frac1{u\beta}\right)>0, \qquad f(\beta)=\alpha.$$ いずれの場合も $b=f(u)>\alpha$ である。

逆に $b>\alpha$ とする。$u$ は $$u^2-(b+2)u+1=0$$ を満たせばよい。この方程式の大きい方の解 $$\displaystyle u_+=\frac{b+2+\sqrt{b^2+4b}}2$$ は $b$ とともに増加し、$b=\alpha$ で $\beta$、$b=9/4$ で $4$ となる。したがって $\alpha<b<9/4$ では $\beta<u_+<4$ であり、条件を満たす。

$b\ge 9/4$ では小さい方の解 $$\displaystyle u_-=\frac{2}{b+2+\sqrt{b^2+4b}}$$ を取る。これは正で、$b$ とともに減少し、$b=9/4$ では $1/4<\alpha$ だから $0<u_-<\alpha$ である。こちらも条件を満たす。

以上より、求める範囲は $$\displaystyle \boxed{b>1-\frac{\sqrt2}{2}}.$$