4名古屋大学 2016年 数学 第4問解答・解説

二次方程式の解と係数の関係より、条件 $(**)$ は $$a_{n+1}+b_{n+1}=-a_n,\qquad a_{n+1}b_{n+1}=b_n.\tag{R}$$ と同値である。

まず(2)(i)。全ての $n$ で $b_n=0$ なら $m=1$ とすればよい。そうでなければ、ある $r$ で $b_r\ne0$。積の式から $b_n\ne0$ なら $b_{n+1}\ne0$ なので、$n\ge r$ では $$1\le |b_{n+1}|\le |b_n|.$$ 正の整数の非増加列は途中から一定になる。従って条件を満たす $m$ がある。

(2)(ii)を分類する。まず $b_r\ne0$ となる場合、ある $m$ と正整数 $K$ に対し $|b_n|=K$（$n\ge m$）である。積の式から $|a_{n+1}|=1$ だから十分大きい $n$ では $a_{n-1},a_n$ はそれぞれ $-1$ または $1$。また $$b_n=-a_{n-1}-a_n\ne0$$ なので $a_{n-1}=a_n$、$b_n=-2a_n$。さらに積の式から十分大きい $n$ について $$b_n=a_{n+1}b_{n+1}=a_n(-2a_n)=-2.$$ 従って $a_n=1,b_n=-2$ が十分大きい全ての $n$ で成立する。この組の直前も(R)から一意に $(1,-2)$ となるので、有限回遡って全ての $n\ge1$ で $(a_n,b_n)=(1,-2)$。

残る場合は全ての $n$ で $b_n=0$。このとき(R)から $a_{n+1}=-a_n$、ゆえに $a_n=(-1)^{n-1}t$（$t$ は整数）。逆にこの列では $x^2+a_nx=x(x+a_n)$ の解が $0,-a_n$ で、条件を満たす。固定列 $(1,-2)$ も $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ より条件を満たす。

最後に(1)。$(A_n,B_n)$ を周期3で定め、$(A_1,B_1)=(a,b),(A_2,B_2)=(c,d),(A_3,B_3)=(e,f)$ とする。3条件はこの列が(R)を満たすことを表す。分類した固定列では $$(a,b,c,d,e,f)=(1,-2,1,-2,1,-2).$$ 全ての $B_n=0$ の場合は $A_{n+1}=-A_n$ だが、周期3から $A_4=A_1=-A_1$、よって全ての $A_n,B_n$ は0。いずれも元の条件を満たす。