III慶應義塾大学 2026年 数学 第III問解答・解説

第III問　解答

$\theta=2\pi/7$ とおく。$z=\cos\theta+i\sin\theta$ は絶対値が $1$ なので、$z^{-1}=\overline z$ である。

(1) $z^r=1$ となる条件は $r\theta$ が $2\pi$ の整数倍となること、すなわち $7\mid r$ である。したがって最小の自然数は $k=7$ であり、すべての自然数 $l$ について $(z^l)^7=1$ となる。また $$\displaystyle a=z+z^{-1}=2\cos\theta=2\cos\frac{2\pi}{7}.$$ よって $\text{あ}=7$、$\text{い}=2/7$ である。$z+z^{-1}=a$ を平方・立方すると $$z^2+z^{-2}=a^2-2,\qquad z^3+z^{-3}=a^3-3a.$$ $z\ne1$ かつ $z^7=1$ より $1+z+\cdots+z^6=0$ である。両辺に $z^{-3}$ を掛け、互いに逆数の項を組にすると $$0=1+(z+z^{-1})+(z^2+z^{-2})+(z^3+z^{-3}) =a^3+a^2-2a-1.$$ 従って $\text{う}=a^2-2$、$\text{え}=a^3-3a$、$(\text{お},\text{か},\text{き})=(1,-2,-1)$ である。

$p(x)=x^3+x^2-2x-1$ とする。$j=1,2,3$ に対し $z^j$ も $1$ 以外の $7$ 乗根であるから、同じ等比数列の計算により $2\cos(2j\pi/7)$ は $p(x)=0$ の解である。$0<2\pi/7<4\pi/7<6\pi/7<\pi$ で余弦の値は角度が大きくなると必ず小さくなるため、これらは相異なる三つの解である。原文の $0<\text{く}<\text{け}<1$ に従い $$\displaystyle b=2\cos\frac{4\pi}{7},\qquad c=2\cos\frac{6\pi}{7},\qquad \boxed{\text{く}=\frac47,\quad\text{け}=\frac67}.$$

(2) $\pi/4<2\pi/7<\pi/3$ である。余弦関数は引数が0から $\pi$ まで増えると値が必ず小さくなるので $$\displaystyle 1=2\cos\frac\pi3<a=2\cos\frac{2\pi}{7}<2\cos\frac\pi4=\sqrt2.$$ 従って $\sqrt1<a<\sqrt2$ より $\boxed{\text{こ}=1}$ である。

(3) $x\ge1$ では $p'(x)=3x^2+2x-2>0$ である。$\alpha=\sqrt{3/2}$、$\beta=\sqrt{8/5}$ とおくと $$\displaystyle p(\alpha)=\frac{1-\alpha}{2}<0, \qquad p(\beta)=\frac{3-2\beta}{5}>0$$ である。後者は $\beta^2=8/5<9/4$ より $\beta<3/2$ による。$a>1$、$p(a)=0$ と単調性から $$\displaystyle \sqrt{\frac{15}{10}}=\alpha<a<\beta=\sqrt{\frac{16}{10}}.$$ 従って $\boxed{\text{さ}=15}$ である。

(4) $\pi/2<4\pi/7<6\pi/7<\pi$ より $b,c<0$ であり、$\cos(\pi-t)=-\cos t$ を使うと $$\displaystyle |b|=2\cos\frac{3\pi}{7},\qquad a=2\cos\frac{2\pi}{7},\qquad |c|=2\cos\frac\pi7.$$ $\pi/7<2\pi/7<3\pi/7$ であるから $$\boxed{\text{し}=|b|<\text{す}=a<\text{せ}=|c|}.$$

(5) 解と係数の関係から $a+b+c=-1$ である。また $p(-1/2)=1/8>0$、$p(0)=-1<0$ なので、$p$ は $-1/2<x<0$ の範囲に解をもつ。$a>1$、$c=2\cos(6\pi/7)<-1$ であり、三つの解は $a,b,c$ に尽きるから、その解は $b$ である。従って $-1/2<b<0$ である。(4) の最大辺は $|c|$ であり $$|c|-(a+|b|)=-c-a+b=1+2b>0.$$ 最大辺が他の二辺の和を超えるため、$\boxed{\text{この三辺をもつ三角形は存在しない}}$。

(6) $q=z^3$ は直線 $OA$ の単位方向を表す。単位複素数 $q$ の方向の原点を通る直線に関する $u$ の鏡映は、$u$ を $\overline q$ 倍して実軸に回し、共役をとり、$q$ 倍して戻すことから $q^2\overline u$ である。従って $u=iz$ の像は $$\gamma=z^6\overline{iz}=-iz^5.$$ ここで $z^2-z^{-2}=2i\sin(4\pi/7)$ より $$\displaystyle \gamma+iz=iz(1-z^4)=iz^3(z^{-2}-z^2) =2\sin\frac{4\pi}{7}\,z^3.$$ $a=2\cos\theta>0$、$0<\theta<\pi/2$ なので $\sqrt{4-a^2}=2\sin\theta$。倍角の公式から $$\displaystyle 2\sin\frac{4\pi}{7}=2\sin(2\theta) =4\sin\theta\cos\theta=a\sqrt{4-a^2}.$$ 従って $$\gamma=a\sqrt{4-a^2}\,z^3-iz, \qquad \boxed{\text{そ}=a\sqrt{4-a^2},\quad\text{た}=-1}.$$ 両係数は実数である。

(7) $w=(1+\sqrt3i)/2=\cos(\pi/3)+i\sin(\pi/3)$ であり、$|z|=|w|=1$ である。$\theta-\pi/3=-\pi/21$ を用いると $$\displaystyle |z^d+w^d|^2 =2+2\operatorname{Re}\bigl(z^d\overline{w^d}\bigr) =2+2\cos\frac{d\pi}{21}\le4.$$ 等号は $d\pi/21$ が $2\pi$ の整数倍となるとき、すなわち $42\mid d$ のとき、かつそのときに限る。$d=42$ は指定範囲内なので最大値は $2$ である。また $42\cdot48=2016\le2026<2058=42\cdot49$ より該当する $d$ は $48$ 個である。従って $\boxed{\text{ち}=2,\quad\text{つ}=48}$ である。

全解答 $$\displaystyle \begin{gathered} \text{あ}=7,\quad \text{い}=\frac27,\quad \text{う}=a^2-2,\quad \text{え}=a^3-3a,\quad (\text{お},\text{か},\text{き})=(1,-2,-1),\\ (\text{く},\text{け})=\left(\frac47,\frac67\right),\quad \text{こ}=1,\quad \text{さ}=15,\\ (\text{し},\text{す},\text{せ})=(|b|,a,|c|),\quad \text{(5) 三角形は存在しない},\\ \text{そ}=a\sqrt{4-a^2},\quad \text{た}=-1,\quad \text{ち}=2,\quad \text{つ}=48. \end{gathered}$$