3長崎大学 2020年 数学 第3問解答・解説

(1) $u=\cos x$ とおくと、$-1\le u\le1$ である。倍角・加法定理より $$\begin{aligned} f(x)&=3\sin x(2\sin x\cos x)+4\cos^3x-3\cos x\\ &=6(1-u^2)u+4u^3-3u=3u-2u^3. \end{aligned}$$ $g(u)=3u-2u^3$ とおけば、$g'(u)=3-6u^2$ である。したがって $g$ は $-1<u<-1/\sqrt2$ および $1/\sqrt2<u<1$ で減少し、$-1/\sqrt2<u<1/\sqrt2$ で増加する。端点と極値候補での値は $g(-1)=-1,\ g(1)=1,\ g(-1/\sqrt2)=-\sqrt2,\ g(1/\sqrt2)=\sqrt2$である。よって最大値は $\sqrt2$ で、$\cos x=1/\sqrt2$ より $x=\pm\pi/4$、最小値は $-\sqrt2$ で、$\cos x=-1/\sqrt2$ より $x=\pm3\pi/4$ である（いずれも $-\pi\le x\le\pi$）。

(2) 定義域は $x>-1$ である。また $2x^2-x+1=2(x-1/4)^2+7/8>0$ なので、この対数の真数は常に正である。 $$\displaystyle \frac23+\log_8(2x^2-x+1)=\frac13\log_2\{4(2x^2-x+1)\}.$$ 底2の対数関数は増加関数であるから、もとの不等式は、定義域 $x>-1$ のもとで $$4(2x^2-x+1)\le (x+1)^3$$ と同値である。整理すると $$(x+1)^3-4(2x^2-x+1)=x^3-5x^2+7x-3=(x-1)^2(x-3)\ge0.$$ よって解は $x=1$ または $x\ge3$ である。

(3) $PR:RQ=t:(1-t)$ より、点 $R$ の複素数表示は $(1-t)P+tQ$ である。したがって $$\displaystyle 1=\frac{1-t}{z}+\frac{t}{1-z}.$$ $z\ne0,1$ なので両辺に $z(1-z)$ を掛けてよく、整理すると $$z^2-2(1-t)z+(1-t)=0,\qquad (z-(1-t))^2=-t(1-t).$$ $t=0$ なら $z=1$、$t=1$ なら $z=0$ となり、いずれも条件に反する。よって $0<t<1$ である。このとき右辺 $-t(1-t)$ は負である。$z$ が実数なら左辺は実数の平方として0以上になるため矛盾する。ゆえに $z$ は実数ではない。

(4) $\alpha+\beta=2,\ \alpha\beta=-1$ なので、$\alpha,\beta$ はともに方程式 $y^2-2y-1=0$ を満たし、$y^2=2y+1$ である。したがって $P_1=\alpha+\beta=2,\ P_2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=6$ であり、すべての $n\ge1$ について $$P_{n+2}=2P_{n+1}+P_n$$ が成り立つ。ここで各 $n$ について $P_n=4q+2$（$q$ は整数）となることを示す。$n=1,2$ では $P_1=4\cdot0+2,\ P_2=4\cdot1+2$ で成立する。$P_n=4a+2,\ P_{n+1}=4b+2$（$a,b$ は整数）と仮定すると、 $$P_{n+2}=2(4b+2)+(4a+2)=4(2b+a+1)+2$$ となり、同じ形である。数学的帰納法によりすべての自然数 $n$ で $P_n$ は4で割ると2余る。したがって $P_n$ は偶数であり、4の倍数ではない。