4長崎大学 2020年 数学 第4問解答・解説

Oを原点とし $\overrightarrow{OA}=\vec a,\overrightarrow{OB}=\vec b,\overrightarrow{OC}=\vec c$ とする。外心半径より $|a|=|b|=|c|=R$、またHの位置ベクトルは $\vec a+\vec b+\vec c$、Pはその中点で $\overrightarrow{OP}=(\vec a+\vec b+\vec c)/2$。

（1）$\overrightarrow{AH}=\vec b+\vec c$、$\overrightarrow{CH}=\vec a+\vec b$。一方 $\overrightarrow{BC}=\vec c-\vec b$、$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$ であり、 $$(b+c)\cdot(c-b)=|c|^2-|b|^2=0,\quad (a+b)\cdot(b-a)=|b|^2-|a|^2=0.$$ 従って所要の垂直が成り立つ。

（2）中点の位置ベクトルから $$\displaystyle \overrightarrow{PL}=-\frac12\vec c,\quad\overrightarrow{PM}=-\frac12\vec a,\quad\overrightarrow{PN}=-\frac12\vec b.$$ 各長さはR/2なのでPは△LMNの外心。

（3）DはAHの中点だから $\overrightarrow{OD}=(2\vec a+\vec b+\vec c)/2$、$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{\vec b+\vec c}{2}$。その平均は $(\vec a+\vec b+\vec c)/2=\overrightarrow{OP}$、よってPはDMの中点。

（4）$\displaystyle m=\frac{\vec b+\vec c}{2}$、$d=\vec c-\vec b$ と置く。$m\cdot d=0$ は $|b|=|c|$ から従う。垂足Eは $OE=m+td$ と書け、AE⊥BCより $(m+td-a)\cdot d=0$。$q=td$ とおけば $a\cdot q=|q|^2$。また $OP=m+a/2$ なので $$PE^2=|q-a/2|^2=|q|^2-a\cdot q+|a|^2/4=R^2/4.$$ ゆえにPE=R/2=PL=PM=PNで、EはP中心の△LMNの外接円上にある。