I鳥取大学 2020年 数学 第I問解答・解説

Aを原点とする。$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{p},\quad \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{q}$とおくと、内分の比より$\displaystyle \overrightarrow{AD}=\frac13\overrightarrow{p},\quad \overrightarrow{AE}=\frac{2\overrightarrow{p}+3\overrightarrow{q}}5$である。

OはAE上にあるから、$\overrightarrow{AO}=t\overrightarrow{AE}$とおく。またOはCD上にもあるから、ある実数$s$を用いて$\displaystyle \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AC}+s\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{q}+s\left(\frac13\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}\right)$と表せる。

係数を比較すると$\displaystyle \frac{2t}{5}=\frac{s}{3},\quad \frac{3t}{5}=1-s$。前式から$\displaystyle s=\frac{6t}{5}$なので、後式に代入して$\displaystyle \frac{9t}{5}=1$、したがって$\displaystyle t=\frac59$。ゆえに$\displaystyle \overrightarrow{AO}=\frac59\cdot\frac{2\overrightarrow{p}+3\overrightarrow{q}}5=\frac29\overrightarrow{p}+\frac13\overrightarrow{q}$。

(2) $x=|\overrightarrow{p}|^2=AB^2,\quad y=|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}|^2=BC^2,\quad z=|\overrightarrow{q}|^2=CA^2,\quad d=\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}$とおく。Oが外接円の中心なら$OA=OB=OC$である。Aを原点とし、$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{p},\quad \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AO}-\overrightarrow{q}$だから、$OA=OB$および$OA=OC$をそれぞれ平方して$\displaystyle \overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{p}=\frac{x}{2},\quad \overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{q}=\frac{z}{2}$を得る。

(1)の結果を代入すると$\displaystyle \frac29x+\frac13d=\frac{x}{2},\quad \frac29d+\frac13z=\frac{z}{2}$。よって$\displaystyle d=\frac56x,\quad z=\frac43d=\frac{10}{9}x$。さらに$\displaystyle y=x+z-2d=\left(1+\frac{10}{9}-\frac53\right)x=\frac49x$。したがって$\displaystyle AB^2:BC^2:CA^2=x:y:z=1:\frac49:\frac{10}{9}=9:4:10$。