4京都大学 2007年 数学 第4問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} &\text{Oを原点とし，A,B,Cの位置ベクトルを }\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c\text{ とする。}\quad |\boldsymbol a|=|\boldsymbol b|=|\boldsymbol c|=r.\\ &AP:PB=BQ:QC=CR:RA=2:3\text{ より}\quad \boldsymbol p=\overrightarrow{OP}=\frac{3\boldsymbol a+2\boldsymbol b}{5},\quad \boldsymbol q=\frac{3\boldsymbol b+2\boldsymbol c}{5},\quad \boldsymbol s=\overrightarrow{OR}=\frac{3\boldsymbol c+2\boldsymbol a}{5}.\\ &25OP^2=|3\boldsymbol a+2\boldsymbol b|^2=13r^2+12\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b,\\ &25OQ^2=13r^2+12\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c,\quad 25OR^2=13r^2+12\boldsymbol c\cdot\boldsymbol a.\\ &O\text{ が外心なら }OP=OQ=OR\text{ だから }\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c=\boldsymbol c\cdot\boldsymbol a.\\ &AB^2=|\boldsymbol a-\boldsymbol b|^2=2r^2-2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b\text{ などより }AB=BC=CA.\\ &\text{よって△ABCは正三角形。逆に正三角形なら3内積が等しく，}OP=OQ=OR\text{ なのでOが△PQRの外心となる。} \end{aligned}$$