3京都大学 2007年 数学 第3問解答・解説

条件より $d=-a-b-c$ であるから、 $$ad-bc=-a(a+b+c)-bc=-(a+b)(a+c)$$ となる。第2条件 $ad-bc=-p$ より $(a+b)(a+c)=p$ を得る。ここで $x=a+b$, $y=a+c$ とおくと、$x,y$ は整数であり、$x-y=b-c\geq 0$ より $x\geq y$ である。$p$ は素数なので、積が $p$ となる符号付きの因数の組のうち $x\geq y$ を満たすものは $(x,y)=(p,1),(-1,-p)$ である。

$(x,y)=(-1,-p)$ のとき、$b=-1-a$, $c=-p-a$, $d=a+p+1$ となる。$a\geq b$ より $2a\geq -1$ であり、$a$ は整数だから $a\geq 0$ である。一方、$c\geq d$ より $2a\leq -2p-1$ となり、整数であることから $a\leq -p-1$ となる。これは矛盾である。