5京都大学 2007年 数学 第5問解答・解説

すべての列ベクトルを 実数を成分にもつ2次元の列ベクトルとする。まず $\vec{x}_0$ と $\vec{x}_1=A\vec{x}_0$ が一次独立であることを示す。もし従属なら、$\vec{x}_0\neq\vec0$ より $\vec{x}_1=c\vec{x}_0$ となる実数 $c$ がある。このとき漸化式を繰り返すと $\vec{x}_m=c^m\vec{x}_0$ である。仮定 $\vec{x}_m=\vec{x}_0$ から $c^m=1$ を得る。実数 $c$ で $c^m=1$ を満たすのは $c=1$ または $c=-1$ に限られる。前者なら $\vec{x}_1=\vec{x}_0$ となって最初の一致は $1$、後者なら $\vec{x}_2=\vec{x}_0$ となって最初の一致は $2$ である。いずれも $m\geq3$ に反する。したがって $\vec{x}_0,\vec{x}_1$ は一次独立であり、すべての実成分の2次元列ベクトルを、この2本の実数倍の和で表せる。

ここで $$A^m\vec{x}_0=\vec{x}_m=\vec{x}_0$$ である。また行列積の結合法則から $$A^m\vec{x}_1=A^m(A\vec{x}_0) =A(A^m\vec{x}_0)=A\vec{x}_0=\vec{x}_1.$$ よって $A^m$ は2本のベクトル $\vec{x}_0,\vec{x}_1$をそれぞれ固定する。任意の実成分の2次元列ベクトルはこの2本の実数倍の和だから、$A^m$ は すべての実成分の2次元列ベクトルを固定し、したがって $$A^m=I_2$$ である。