3岡山大学 2007年 数学 第3問解答・解説

(1)　 $P=(t,t^2)$ (t は実数) とおくと、 A による移動後の点は P'=(at+bt^2, ct+dt^2) である。 P' が C 上にある条件は、すべての実数 t について $ct+dt^2=(at+bt^2)^2=a^2t^2+2abt^3+b^2t^4$ が成り立つことである。係数を比較すると c=0, d=a^2, b^2=0 となるから、 b=0, c=0, d=a^2 である。逆にこれらの条件のもとでは P'=(at,a^2t^2) となり、 y'=(x')^2 だから、確かに任意の P は C 上に移る。よって a は任意の実数である。

(2)　 QQ' の傾きは -1 であるから、 l の傾きは 1 であり、 Q'(1,-1) を通るので $\ell:y=x-2$ （すなわち x-y-2=0） である。 P=(t,t^2) とすると、 B による移動後の点は $P'=(X,Y)=(t-\alpha t^2,\ t+\alpha t^2)$ となる。距離は非負なので、その等しさは距離の二乗の等しさと同値である。 Q=(-1,1) までの距離と直線 l までの距離の二乗はそれぞれ$$\displaystyle \begin{aligned}d(P',Q)^2&=(X+1)^2+(Y-1)^2\\&=(t+1-\alpha t^2)^2+(t-1+\alpha t^2)^2=2t^2+2(1-\alpha t^2)^2,\\d(P',l)^2&=\frac{(X-Y-2)^2}{2}=2(1+\alpha t^2)^2.\end{aligned}$$ である。したがって、すべての t について$$\begin{aligned}2t^2+2(1-\alpha t^2)^2&=2(1+\alpha t^2)^2,\\2(1-4\alpha)t^2&=0.\end{aligned}$$ t$\neq$0 の点も C 上にあるので、$\displaystyle \alpha=\frac14$ が必要である。この値を代入すると上の距離の二乗はすべての t で等しくなるから、求める値は$\displaystyle \boxed{\alpha=\frac14}$ である。