3香川大学 2008年 数学 第3問解答・解説

1. 円 $x^2-2ax+y^2=0$ は $$(x-a)^2+y^2=a^2$$ と変形できるから、中心は $(a,0)$、半径は $a$ である。中心 $P$ を $(u,v)$ とすると、$P$ は第1象限または第4象限にあるので $u>0$、$v\ne0$ である。円が $y$ 軸に接するため、中心 $P$ の円の半径は $u$。2円が外接する条件は中心間距離が半径の和に等しいことだから、 $$(u-a)^2+v^2=(u+a)^2.$$ よって $v^2=4au$。逆に、この式を満たす $u>0, v\ne0$ を中心とする半径 $u$ の円は、与えられた円に外接し、$y$ 軸にも接する。したがって、曲線 $C$ は $$y^2=4ax\quad(x>0,\ y\ne0)$$ で表される。通常の放物線 $y^2=4ax$ から頂点 $(0,0)$ を除いた軌跡である。

2. $C$ 上の点を $(at^2,2at)$（$t\ne0$）とおく。この点における接線は $$ty=x+at^2$$ である。実際、この直線を $x=ty-at^2$ として $y^2=4ax$ に代入すると $(y-2at)^2=0$ となり、$(at^2,2at)$ で接する。点 $T(-a,b)$ がこの接線上にある条件は $$bt=-a+at^2,\qquad at^2-bt-a=0.$$ この二次方程式の判別式は $b^2+4a^2>0$ なので、2つの異なる実数解 $t_1,t_2$ をもつ。また、解と係数の関係から $$\displaystyle t_1+t_2=\frac ba,\qquad t_1t_2=-1.$$ いずれの解も0ではない。対応する接線の傾きはそれぞれ $1/t_1,1/t_2$ であり、その積は $$\displaystyle \frac1{t_1}\cdot\frac1{t_2}=\frac1{t_1t_2}=-1.$$ ゆえに、$\ell$ と $\ell'$ は互いに直交する。

3. 接点を $A=(at_1^2,2at_1)$、$B=(at_2^2,2at_2)$ とする。距離の公式より $$\begin{aligned} AB^2&=a^2(t_1^2-t_2^2)^2+4a^2(t_1-t_2)^2\\ &=a^2(t_1-t_2)^2\bigl((t_1+t_2)^2+4\bigr). \end{aligned}$$ さらに $$\displaystyle (t_1-t_2)^2=(t_1+t_2)^2-4t_1t_2=\frac{b^2}{a^2}+4=\frac{b^2+4a^2}{a^2},$$ かつ $(t_1+t_2)^2+4=(b^2+4a^2)/a^2$ である。したがって $$\displaystyle AB^2=\frac{(b^2+4a^2)^2}{a^2}.$$ $a>0$ より $$\displaystyle AB=\frac{b^2+4a^2}{a}.$$