1香川大学 2008年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned} &\overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}3=\frac{\vec a+\vec b}3.\quad (1)\\ &\overrightarrow{OC}=r\vec a,\quad \overrightarrow{OD}=s\vec b\text{ より、}\quad\vec a=\frac1r\overrightarrow{OC},\quad\vec b=\frac1s\overrightarrow{OD}.\\ &\therefore\quad\overrightarrow{OG}=\frac1{3r}\overrightarrow{OC}+\frac1{3s}\overrightarrow{OD}.\quad (2)\\ & \text{点 }G\text{ は直線 }CD\text{ 上にあるから、ある実数 }t\text{ を用いて }\overrightarrow{OG}=(1-t)\overrightarrow{OC}+t\overrightarrow{OD}\text{ と書ける。}\\ &\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD}\text{ はそれぞれ }\vec a,\vec b\text{ の非零倍であり、}\vec a,\vec b\text{ は一次独立である。}\\ &\text{したがって (2) の係数の和は }1\text{ で、}\quad\frac1{3r}+\frac1{3s}=1.\\ &\therefore\quad\frac1r+\frac1s=3,\quad s=\frac{r}{3r-1}\quad(r\ne\tfrac13).\quad (3)\\ &[OCD]=|rs|[OAB]\text{ なので、問4の条件は }|rs|=1\text{。 (3) と }0<r\le1\text{ より} \end{aligned}$$ $$\displaystyle \begin{cases} r^2=1-3r,&0<r<\frac13,\\ r^2=3r-1,&\frac13<r\le1. \end{cases}$$ $$\displaystyle \begin{aligned} &\text{前者から }r=\frac{-3+\sqrt{13}}2\text{、後者から }r=\frac{3\pm\sqrt5}2\text{ を得るが、}0<r\le1\text{ を満たすのは }\frac{3-\sqrt5}2\text{。}\\ &\therefore\quad r=\frac{-3+\sqrt{13}}2\quad\text{または}\quad r=\frac{3-\sqrt5}2.\quad (4)\\ &\frac{OC}{CA}=\frac{r}{1-r}=3\text{ より }r=\frac34\text{。 (3) に代入して }\frac1s=3-\frac43=\frac53\text{、ゆえに }s=\frac35.\\ &\therefore\quad OD:DB=s:(1-s)=\frac35:\frac25=3:2.\quad (5) \end{aligned}$$