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長崎大学／2007年度／前期

長崎大学 2007年 数学 第4問解答・解説

図形と方程式図形の性質ベクトル

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1問題

長崎大学2007年度第4問

△ABC\triangle ABC において辺 BC,CA,ABBC,CA,AB の中点を，それぞれ P,Q,RP,Q,R とする。さらに，線分 APAP を 2:12:1 に内分する点を OO とし，OA→=a⃗, OB→=b⃗, OC→=c⃗\overrightarrow{OA}=\vec{a},\ \overrightarrow{OB}=\vec{b},\ \overrightarrow{OC}=\vec{c} とおくとき，次の問いに答えよ。

(1) a⃗+b⃗+c⃗=0⃗\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0} が成り立つことを示せ。

(2) 辺 AB,BC,CAAB,BC,CA を 2:12:1 に内分する点を，それぞれ A1,B1,C1A_1,B_1,C_1 とする。

また，線分 A1B1,B1C1,C1A1A_1B_1,B_1C_1,C_1A_1 を 2:12:1 に内分する点を，それぞれ A2,B2,C2A_2,B_2,C_2 とする。

OA2→\overrightarrow{OA_2} を a⃗\vec{a} を用いて表せ。

(3) 線分 B2C2B_2C_2 と線分 QRQR が平行であることを示せ。

(4) △PQR\triangle PQR の面積を SS とするとき，△A2B2C2\triangle A_2B_2C_2 の面積を SS を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2考え方

考え方を見る解き方の方針だけを確かめる

Oを原点とする位置ベクトルと内分点の公式を使い、各点を表す。平行は方向ベクトルの比例で示し、面積は相似比の二乗で求める。

3答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1) a⃗+b⃗+c⃗=0⃗,(1)\space{}\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0},
    (2) OA2→=−13a⃗,\displaystyle (2)\space{}\overrightarrow{OA_2}=-\frac{1}{3}\vec{a},
    (3) B2C2∥QR,(3)\space{}B_2C_2\parallel QR,
    (4) [A2B2C2]=49S.\displaystyle (4)\space{}[A_2B_2C_2]=\frac{4}{9}S.

4解答

解答を見る途中式つきの解答

Oを原点とする位置ベクトルで各点を表す。

(1) PはBCの中点だから、OP→=b⃗+c⃗2\displaystyle \overrightarrow{OP}=\dfrac{\vec{b}+\vec{c}}{2} である。また、OはAPを AO:OP=2:1AO:OP=2:1 に内分するので、OA→=−2OP→\overrightarrow{OA}=-2\overrightarrow{OP} である。したがって、a⃗=−2⋅b⃗+c⃗2=−(b⃗+c⃗),\displaystyle \vec{a}=-2\cdot\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}=-(\vec{b}+\vec{c}), よってa⃗+b⃗+c⃗=0⃗\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}となる。

(2) 内分点の公式より、OA1→=a⃗+2b⃗3,OB1→=b⃗+2c⃗3.\displaystyle \overrightarrow{OA_1}=\frac{\vec{a}+2\vec{b}}{3},\qquad \overrightarrow{OB_1}=\frac{\vec{b}+2\vec{c}}{3}. さらにA1A2:A2B1=2:1A_1A_2:A_2B_1=2:1だから、OA2→=OA1→+2OB1→3=(a⃗+2b⃗)+2(b⃗+2c⃗)9=a⃗+4b⃗+4c⃗9.\displaystyle \overrightarrow{OA_2}=\frac{\overrightarrow{OA_1}+2\overrightarrow{OB_1}}{3}=\frac{(\vec{a}+2\vec{b})+2(\vec{b}+2\vec{c})}{9}=\frac{\vec{a}+4\vec{b}+4\vec{c}}{9}. (1)よりb⃗+c⃗=−a⃗\vec{b}+\vec{c}=-\vec{a}なので、OA2→=a⃗+4(b⃗+c⃗)9=−13a⃗.\displaystyle \overrightarrow{OA_2}=\frac{\vec{a}+4(\vec{b}+\vec{c})}{9}=-\frac{1}{3}\vec{a}.

(3) 同様に、OC1→=c⃗+2a⃗3,OB2→=OB1→+2OC1→3=4a⃗+b⃗+4c⃗9=−13b⃗,\displaystyle \overrightarrow{OC_1}=\frac{\vec{c}+2\vec{a}}{3},\quad \overrightarrow{OB_2}=\frac{\overrightarrow{OB_1}+2\overrightarrow{OC_1}}{3}=\frac{4\vec{a}+\vec{b}+4\vec{c}}{9}=-\frac{1}{3}\vec{b}, ここで最後の等号にはa⃗+c⃗=−b⃗\vec{a}+\vec{c}=-\vec{b}を用いた。また、OC2→=OC1→+2OA1→3=4a⃗+4b⃗+c⃗9=−13c⃗,\displaystyle \overrightarrow{OC_2}=\frac{\overrightarrow{OC_1}+2\overrightarrow{OA_1}}{3}=\frac{4\vec{a}+4\vec{b}+\vec{c}}{9}=-\frac{1}{3}\vec{c}, である。Q,RはそれぞれCA,ABの中点なので、OQ→=c⃗+a⃗2=−12b⃗,OR→=a⃗+b⃗2=−12c⃗.\displaystyle \overrightarrow{OQ}=\frac{\vec{c}+\vec{a}}{2}=-\frac{1}{2}\vec{b},\qquad \overrightarrow{OR}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}=-\frac{1}{2}\vec{c}. よってB2C2→=OC2→−OB2→=b⃗−c⃗3=23QR→.\displaystyle \overrightarrow{B_2C_2}=\overrightarrow{OC_2}-\overrightarrow{OB_2}=\frac{\vec{b}-\vec{c}}{3}=\frac{2}{3}\overrightarrow{QR}. したがって、B2C2∥QRB_2C_2\parallel QRである。

(4) (2),(3)の結果から、OA2→=−13a⃗, OB2→=−13b⃗, OC2→=−13c⃗\displaystyle \overrightarrow{OA_2}=-\dfrac13\vec{a},\ \overrightarrow{OB_2}=-\dfrac13\vec{b},\ \overrightarrow{OC_2}=-\dfrac13\vec{c}である。よって、Oを中心とする相似比1:31:3の相似変換で△ABC\triangle ABCは△A2B2C2\triangle A_2B_2C_2に移り、△A2B2C2\triangle A_2B_2C_2の面積は△ABC\triangle ABCの19\displaystyle \dfrac19である。一方、P,Q,Rは各辺の中点だから、△PQR\triangle PQRは△ABC\triangle ABCと相似比1:21:2であり、その面積は△ABC\triangle ABCの14\displaystyle \dfrac14である。△PQR\triangle PQRの面積がSなので、[A2B2C2]=19[ABC]=19⋅4S=49S.\displaystyle [A_2B_2C_2]=\frac19[ABC]=\frac19\cdot4S=\frac49S.

この問題で使う考え方

  • 内分・外分点
  • 三角形の性質
  • ベクトルの和・差・実数倍
  • 位置ベクトル
  • ベクトルによる図形の考察

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