三重大学 2010年数学第2問解答・解説

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1問題

三重大学2010年度第2問

四面体 OABC は，OA = √5，OB = OC = 5，AB = AC = √30，BC = 5√2 を満たすものとする。辺 OB を 2:1 に外分する点を D，辺 OC を 3:2 に外分する点を E とする。O から直線 DE に引いた垂線と直線 BC との交点を F とする。a⃗ = OA⃗，b⃗ = OB⃗，c⃗ = OC⃗ として，次の問いに答えよ。

(1) 内積 a⃗ · b⃗，b⃗ · c⃗，c⃗ · a⃗ を求めよ。

(2) OF⃗ と AF⃗ を a⃗，b⃗，c⃗ を用いて表せ。

(3) 線分 OF の長さと線分 AF の長さおよび cos∠OFA の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

(1) 辺の長さを内積で展開すると $30=5+25-2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b,\quad 30=5+25-2\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c,\quad 50=25+25-2\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c.$ 従って3内積はすべて0。 (2) 外分比から $\overrightarrow{OD}=2\boldsymbol b$ ， $\overrightarrow{OE}=3\boldsymbol c$ 。 $F$ は直線 $BC$ 上にあるので $\overrightarrow{OF}=(1-t)\boldsymbol b+t\boldsymbol c$ とおく。 $OF\perp DE$ なので $0=\overrightarrow{OF}\cdot(3\boldsymbol c-2\boldsymbol b)=75t-50(1-t),\qquad t=2/5.$ よって $\overrightarrow{OF}=3\boldsymbol b/5+2\boldsymbol c/5$ ， $\overrightarrow{AF}=-\boldsymbol a+3\boldsymbol b/5+2\boldsymbol c/5$ 。 (3) 直交性から $OF^2=9+4=13$ ， $AF^2=5+9+4=18$ 。また $\overrightarrow{FO}\cdot\overrightarrow{FA}=13$ なので $\displaystyle OF=\sqrt{13},\quad AF=3\sqrt2,\quad\cos\angle OFA=\frac{13}{\sqrt{13}\sqrt{18}}=\frac{13}{3\sqrt{26}}.$

この問題で使う考え方

内分・外分点
ベクトルの和・差・実数倍
位置ベクトル
ベクトルの内積
空間座標と空間ベクトル
ベクトルによる図形の考察

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