1三重大学 2010年 数学 第1問解答・解説

(1) $y=px+p+2=p(x+1)+2$ なので、$x=-1$ では常に $y=2$。従って全ての直線 $l$ は定点 $(-1,2)$ を通る。 放物線との交点は $$-x^2+3=px+p+2 \quad\text{、すなわち}\quad (x+1)(x+p-1)=0.$$ 接するには2根が一致すればよいので $p=2$（接点のx座標は $-1$）。 (2) 放物線部分 $x\le a$ との交点候補は $x=-1,\ 1-p$。$a\ge-1$ より $x=-1$ は常に含まれ、2根は $p=2$ のときだけ一致する。定数部分 $x>a$ との交点は $p\ne0$ のとき $$\displaystyle x=\frac{1-a^2}{p}-1.$$ 場合を分ける。 - $a=-1$ のとき定数部分は $y=2$。$p=0$ なら直線も $y=2$ で無数の共有点、$p\ne0$ なら定数部分との交点は境界 $x=-1$ のみ。放物線部分に第2の異なる根が入るのは $1-p<-1$、すなわち $p>2$。従って共有点がちょうど2個なのは $p>2$。 - $-1<a\le1$ のとき、$p<0$ なら定数部分とは交わらず放物線部分の共有点は1個。$p=0$ では、$a=1$ なら水平部分と直線が一致し無数の共有点、$a<1$ なら共有点は1個。$p>0$ なら、$p<1-a$ のとき第2根 $1-p$ は $a$ より右にあり、定数部分との交点が別に1個生じる。$p\ge1-a$ では第2根が放物線部分に入り、$-1$ と異なる限り2個となる。例外は $p=2$ で、このとき根が重なり1個だけである。従って条件は $p>0,\ p\ne2$。 まとめると $$\begin{cases} p>2,&a=-1,\\ p>0,\ p\ne2,&-1<a\le1. \end{cases}$$ 交点のx座標は、それぞれの条件の下で $x=-1$ と次の第2点である： $$\displaystyle \begin{cases} 1-p,& p>1-a\quad\text{(放物線部分)},\\[2pt] \dfrac{1-a^2}{p}-1,&0<p<1-a\quad\text{(定数部分)}. \end{cases}$$ 境界 $p=1-a>0$ では第2点は $x=a=1-p$。$a=-1,p>2$ でも第2点は $x=1-p$。

直線はどれも(-1,2)を通ります。放物線との方程式は(x+1)(x+p−1)=0と因数分解できます。ただしグラフCはx=aの右側で水平になるため、2つ目の交点が放物線側にあるか、水平部分にあるかを分けて数えます。特にa=−1では水平部分もy=2となり、p=0なら直線全体が重なる例外が起きます。最後にaの値に応じてpの範囲と第2交点を整理しました。