3筑波大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1) 接線の方程式 $f(x)=x^3-x$ より $f'(x)=3x^2-1$。したがって $$y-(t^3-t)=(3t^2-1)(x-t), \qquad \boxed{L:\ y=(3t^2-1)x-2t^3}.$$

(2) 共有点と積の最小値 交点の横座標は $$x^3-x=(3t^2-1)x-2t^3 \text{すなわち} (x-t)^2(x+2t)=0.$$ $t\ne0$ なので、接点以外の交点は $a=-2t$。よって $$f'(t)f'(a)=(3t^2-1)(12t^2-1).$$ $u=t^2>0$ として平方完成すると $$\displaystyle (3u-1)(12u-1)=36\left(u-\frac5{24}\right)^2-\frac9{16}.$$ $u=5/24$ は許されるため、最小値は $\boxed{-9/16}$。

(3) 垂直な接線が存在する範囲 $L$ の傾きを $m=3t^2-1$、$s$ における接線の傾きを $n=3s^2-1$ とおく。実数 $s$ に対して $n$ の値域は $n\ge-1$。垂直条件は $mn=-1$ である。

$m=0$ では不可能。$m<0$ なら $n=-1/m>0$ で値域に入り、常に実数 $s$ が存在する。$m>0$ なら $n=-1/m\ge-1$ が必要十分であり、これは $m\ge1$ と同値。したがって $$-1\le m<0\text{ または }m\ge1.$$ $m=3t^2-1$ に戻すと $$\displaystyle 0\le t^2<\frac13\quad\text{または}\quad t^2\ge\frac23,$$ ゆえに $$\displaystyle \boxed{-\frac1{\sqrt3}<t<\frac1{\sqrt3}\quad\text{または}\quad |t|\ge\sqrt{\frac23}}.$$ 下端の $t^2=2/3$ は $s=0$ により実現し、$t^2=1/3$ は $L$ が水平で不適。