4筑波大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1) 部分積分により $$\displaystyle \int_0^1 t\sin\pi t\,dt =\left[-\frac{t\cos\pi t}{\pi}\right]_0^1 +\frac1\pi\int_0^1\cos\pi t\,dt =\frac1\pi.$$

(2) $\displaystyle x(t)=-t(t-\frac32)=\frac{9}{16}-(t-\frac34)^2$。したがって $\displaystyle 0\le t\le\frac34$ では $x$ は $0$ から $\displaystyle \frac{9}{16}$ まで増え、$\displaystyle \frac34\le t\le1$ では $\displaystyle \frac{9}{16}$ から $\displaystyle \frac12$ まで減る。二枝の範囲を合わせると $$\displaystyle N(a)= \begin{cases} 0,&a<0\text{ または }a>\frac{9}{16},\\ 1,&0\le a<\frac12\text{ または }a=\frac{9}{16},\\ 2,&\frac12\le a<\frac{9}{16}. \end{cases}$$ $\displaystyle a=\frac12$ では $\displaystyle t=\frac12,1$ の二点、$\displaystyle a=\frac{9}{16}$ では頂点 $\displaystyle t=\frac34$ の一点である。異なる $t,u$ で $x(t)=x(u)$ なら $\displaystyle t+u=\frac32$。一方、$0\le t,u\le1$ で $\sin\pi t=\sin\pi u$ なら $t=u$ または $t+u=1$ なので、異なる根は異なる点を与える。

(3) $\displaystyle x'(t)=\frac32-2t$。$\displaystyle t=\frac34$ まで曲線は右向きに進み、その後は左向きに戻る。したがって、後半の負の寄与が重なった二枝の間の部分を差し引き、囲まれた面積は $$\displaystyle A=\int_0^1 y(t)x'(t)\,dt =\frac32\int_0^1\sin\pi t\,dt -2\int_0^1t\sin\pi t\,dt =\frac32\cdot\frac2\pi-2\cdot\frac1\pi =\frac1\pi.$$