5北海道大学 2021年 数学 第5問解答・解説

(1) $u=\cos\theta$ とおくと $-1\leq u\leq1$ であり、$\displaystyle x=u^2+u=(u+\frac12)^2-\frac14$ だから、最小値は $\displaystyle a=-\frac14$（$\displaystyle u=-\frac12$、すなわち $\displaystyle \theta=\frac{2\pi}{3}$）である。このとき $\displaystyle A=(-\frac14,\frac{\sqrt3}{2})$。

(2) $A$ から $O$ までの曲線弧は $\displaystyle \frac{2\pi}{3}\leq\theta\leq\pi$ に対応する。$x=(1+\cos\theta)\cos\theta$ より $$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=-(1+2\cos\theta)\sin\theta\geq0$$ なので、この弧に沿う面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_{2\pi/3}^{\pi}y\frac{dx}{d\theta}\,d\theta\\ &=-\int_{2\pi/3}^{\pi}\sin^2\theta\,d\theta-2\int_{2\pi/3}^{\pi}\sin^2\theta\cos\theta\,d\theta\\ &=-\left[\frac{\theta}{2}-\frac{\sin2\theta}{4}\right]_{2\pi/3}^{\pi}-2\left[\frac{\sin^3\theta}{3}\right]_{2\pi/3}^{\pi}\\ &=-\left(\frac\pi6-\frac{\sqrt3}{8}\right)-2\left(-\frac{\sqrt3}{8}\right)\\ &=\frac{3\sqrt3}{8}-\frac\pi6. \end{aligned}$$