3新潟大学 2001年 数学 第3問解答・解説

$u=\pi t$とおくと、点Pの位置は$P=(2\cos u,2\sin u)$である。QはPから見て初期方向から角2uだけ回転するので\$Q=(2\cos u+\cos2u,\ 2\sin u+\sin2u)$. (1)　 A=$\displaystyle \left(\frac12,0\right)$より f(t)^2=(2$\cos$ u+$\cos$2u-$\displaystyle \tfrac12$)^2+(2$\sin$ u+$\sin$2u)^2. (2$\cos$ u+$\cos$2u)^2+(2$\sin$ u+$\sin$2u)^2=5+4$\cos$(u-2u)=5+4$\cos$ uだから、 f(t)^2=5+4$\cos$ u-(2$\cos$ u+$\cos$2u)+$\displaystyle \frac14$=$\displaystyle \frac{25}{4}$+2$\cos$ u-2$\cos^2$u =$\displaystyle \frac{27}{4}$-2$\displaystyle \left(\cos u-\frac12\right)^2$. したがって　 f(t)=$\displaystyle \sqrt{\frac{25}{4}+2\cos(\pi t)-2\cos^2(\pi t)}$. (2)　 Pの角速度は$\pi$なので1回転の時間は2秒であり、0$\le$ t$\le$2では$\cos(\pi t)$ は $-1\le\cos(\pi t)\le1$ の範囲を動く。上式から最大は$\cos$($\pi$ t)=$\displaystyle \frac12$のときで、 $\cos$($\pi$ t)=$\displaystyle \frac12$$\text{すなわち}$ t=$\displaystyle \frac13$,$\displaystyle \frac53$,　　 f_{$\displaystyle \max$}=$\displaystyle \sqrt{\frac{27}{4}}$=$\displaystyle \frac{3\sqrt3}{2}$. 最小は$\displaystyle \left|\cos(\pi t)-\frac12\right|$が最大の$\cos$($\pi$ t)=-1のときで、 t=1,　　 f_{$\displaystyle \min$}=$\displaystyle \sqrt{\frac{27}{4}-2\left(-\frac32\right)^2}$=$\displaystyle \frac32$. (3)　 fが初めて最小となるのはt=1である。Qの速度ベクトルを微分して Q'(t)=$\left(-2\pi(\sin\pi t+\sin2\pi t),\ 2\pi(\cos\pi t+\cos2\pi t)\right)$, |Q'(t)|=2$\pi$$\sqrt{2+2\cos(\pi t-2\pi t)}$=4$\pi$$\displaystyle \left|\cos\frac{\pi t}{2}\right|$. 0$\le$ t$\le$1では$\cos$$\displaystyle \frac{\pi t}{2}$$\ge$0なので、Qの道のりは $\displaystyle \int_0^1$|Q'(t)| dt=$\displaystyle \int_0^1$ 4$\pi$$\cos$$\displaystyle \frac{\pi t}{2}$ dt=8.