3徳島大学 2003年 数学 第3問解答・解説

放物線上の点を $Q=(x,x^2)$、円の中心を $O=(0,a)$ とおき、$t=x^2\;(t\ge0)$ とする。

(1) $$\displaystyle OQ^2=x^2+(x^2-a)^2=t+(t-a)^2=\left(t-a+\frac12\right)^2+a-\frac14.$$よって、$t\ge0$ の範囲で最小となるのは、$\displaystyle 0<a\le\frac12$ のとき $t=0$、$\displaystyle a>\frac12$ のとき $\displaystyle t=a-\frac12$ である。したがって初接触点は前者で $(0,0)$、後者で $$\displaystyle \left(\pm\sqrt{a-\frac12},\ a-\frac12\right)$$。半径はそれぞれ $a$、$\displaystyle \sqrt{a-\frac14}$ である。

(2) $\displaystyle a\le\frac12$ では接触点は原点であり、円の接線は $y=0$ なので $\displaystyle (0,-\frac34)$ を通らない。そこで $\displaystyle a>\frac12$ とし、接触点を $P=(u,u^2)$ とおくと $\displaystyle u^2=a-\frac12$ である。半径 $OP$ の方向ベクトルは $\displaystyle (u,-\frac12)$ だから、$P$ における円の接線は $$\displaystyle u(x-u)-\frac12(y-u^2)=0,$$すなわち $y=2ux-u^2$ である。この直線の $y$ 切片は $-u^2$ であるから、条件より $\displaystyle u^2=\frac34$。ゆえに $\displaystyle a=\frac54$、$\displaystyle r^2=a-\frac14=1$ となり、$C_2$ は $$\displaystyle x^2+\left(y-\frac54\right)^2=1$$である。

(3) $C_1$ と $C_2$ の交点は、$t=x^2$ として $\displaystyle t+(t-\frac54)^2=1$、すなわち $\displaystyle (t-\frac34)^2=0$ より $$\displaystyle (x,y)=\left(\pm\frac{\sqrt3}{2},\frac34\right).$$この間では円の下側の弧 $\displaystyle y=\frac54-\sqrt{1-x^2}$ が放物線 $y=x^2$ の上にある。実際、$\displaystyle |x|\le\frac{\sqrt3}{2}$ では $\displaystyle \frac54-x^2>0$ かつ $\displaystyle \left(\frac54-x^2\right)^2-(1-x^2)=\left(x^2-\frac34\right)^2\ge0$ である。よって求める面積 $A$ は $$\displaystyle A=\int_{-\sqrt3/2}^{\sqrt3/2}\left(\frac54-\sqrt{1-x^2}-x^2\right)\,dx.$$被積分関数は偶関数なので、$\displaystyle x=\sin\theta\;(0\le\theta\le\frac\pi3)$ とおくと $$\displaystyle A=2\int_0^{\pi/3}\left(\frac54-\cos\theta-\sin^2\theta\right)\cos\theta\,d\theta=2\left[\frac54\sin\theta-\frac{\theta}{2}-\frac{\sin2\theta}{4}-\frac{\sin^3\theta}{3}\right]_0^{\pi/3}=\frac{3\sqrt3}{4}-\frac\pi3.$$