4新潟大学 2018年 数学 第4問解答・解説

交点の $x$ 座標を $a$ とすると、$x>0$ なので $$\displaystyle \frac{\log x}{x}=\frac{k}{x}\quad\text{すなわち}\quad \log x=k.$$ したがって $a=e^k$ であり、条件 $1<a<e$ は $0<k<1$ と同値である。これが (1) の範囲である。

対数関数は増加するので、$1\le x<a$ では $\log x<k$、$a<x\le e$ では $\log x>k$ である。よって $C_2$ が上側となる前半と、$C_1$ が上側となる後半を分けると $$\displaystyle S=\int_1^{e^k}\frac{k-\log x}{x}\,dx+\int_{e^k}^{e}\frac{\log x-k}{x}\,dx.$$ 置換 $t=\log x$（$dt=dx/x$）を用いて $$\displaystyle \int_1^{e^k}\frac{k-\log x}{x}\,dx=\int_0^k(k-t)\,dt=\frac{k^2}{2},$$ $$\displaystyle \int_{e^k}^{e}\frac{\log x-k}{x}\,dx=\int_k^1(t-k)\,dt=\frac{(1-k)^2}{2}.$$ したがって $$\displaystyle S(k)=\frac{k^2+(1-k)^2}{2}=k^2-k+\frac12 =\left(k-\frac12\right)^2+\frac14.$$ $0<k<1$ の範囲に頂点 $k=1/2$ が含まれるので、最小値は $1/4$、そのときの $k$ は $1/2$ である。